Частная производная

Для функции нескольких переменных $f(x, y, z, \ldots)$ частная производная по $x$ есть

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y, \ldots) - f(x, y, \ldots)}{h},$

при этом все остальные переменные рассматриваются как константы. Обозначение: $\partial$ (округлённое «d», читается «дель») отличает её от полных производных.

Пример: $f(x, y) = x^2 y + 3y$. Тогда $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ ($y$ считается константой), а $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$.

Частные производные — это строительные блоки математического анализа функций нескольких переменных. Градиент $\nabla f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \ldots)$ указывает направление наискорейшего возрастания — основа градиентного спуска в машинном обучении. Уравнения в частных производных моделируют теплоту, волны, жидкости, электромагнетизм и квантовую механику.