AI Math
Открыть приложение
calculus

Частная производная

Частная производная измеряет, как функция нескольких переменных изменяется при изменении только одной переменной, когда остальные остаются постоянными. Обозначение: ∂f/∂x.

Для функции нескольких переменных f(x,y,z,…)f(x, y, z, \ldots) частная производная по xx есть

∂f∂x=lim⁡h→0f(x+h,y,…)−f(x,y,…)h,\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y, \ldots) - f(x, y, \ldots)}{h},

при этом все остальные переменные рассматриваются как константы. Обозначение: ∂\partial (округлённое «d», читается «дель») отличает её от полных производных.

Пример: f(x,y)=x2y+3yf(x, y) = x^2 y + 3y. Тогда ∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy (yy считается константой), а ∂f∂y=x2+3\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3.

Частные производные — это строительные блоки математического анализа функций нескольких переменных. Градиент ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,…)\nabla f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \ldots) указывает направление наискорейшего возрастания — основа градиентного спуска в машинном обучении. Уравнения в частных производных моделируют теплоту, волны, жидкости, электромагнетизм и квантовую механику.