Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента — это непрерывное распределение вероятностей, похожее на нормальное — колоколообразное, симметричное — но с более тяжёлыми хвостами. Оно зависит от параметра, называемого числом степеней свободы (df).

Когда его применять: вывод о среднем генеральной совокупности, когда (1) стандартное отклонение совокупности $\sigma$ неизвестно (оценивается по выборке как $s$), И (2) объём выборки $n$ мал.

t-статистика: $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ подчиняется распределению Стьюдента с $n - 1$ степенями свободы.

Свойства: при $df \to \infty$ распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному $N(0, 1)$. При $df < 30$ тяжёлые хвосты заметно расширяют доверительные интервалы — это «плата» за незнание $\sigma$.

История: разработано Уильямом Госсетом на пивоварне Guinness (он публиковался под псевдонимом «Student», поскольку Guinness запрещала сотрудникам публикации). Лежит в основе t-критериев (одновыборочного, двухвыборочного, парного) и доверительных интервалов для средних при неизвестной дисперсии.