Касательная (прямая)

Касательная прямая к кривой в точке — это прямая, которая касается кривой в этой точке и совпадает с её мгновенным направлением (наклоном) в ней.

Для функции $y = f(x)$ касательная в точке $x = a$ имеет уравнение

$y - f(a) = f'(a)(x - a),$

с угловым коэффициентом $f'(a)$ — производной.

Для окружности касательная в любой точке перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Этот единственный факт лежит в основе многих теорем об окружности и является исходным геометрическим смыслом слова «касательная» (от латинского tangere, «касаться»).

Современное употребление распространяется на:

• касательную плоскость к поверхности в 3D (линейное приближение);
• касательный вектор к кривой в пространстве любой размерности;
• касательное пространство к многообразию (целая область — дифференциальная геометрия).

Не путайте геометрическую касательную прямую с тригонометрической функцией тангенса $\tan\theta$ — они носят одно имя из-за старого построения, связывающего угол с касательной к единичной окружности, но в современном употреблении это разные понятия.