Производная

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ определяется как предел

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$

при условии, что этот предел существует. Геометрически это угловой коэффициент касательной в точке $(x_0, f(x_0))$; физически — мгновенная скорость изменения величины, представленной функцией $f$.

Производная линейна (производная суммы равна сумме производных), и небольшой набор правил — степени, произведения, частного, цепного — позволяет механически дифференцировать большинство элементарных функций, не возвращаясь каждый раз к определению через предел.

Производные лежат в основе оптимизации (поиск максимумов и минимумов), физики (скорость — производная положения, ускорение — производная скорости), машинного обучения (градиентный спуск) и экономики (предельные издержки / доход).