Ряд (бесконечная сумма)

Ряд — это сумма членов последовательности. Конечный ряд $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ — это обычное сложение. Бесконечный ряд $\sum_{i=1}^\infty a_i$ — это предел частичных сумм $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ при $n \to \infty$.

Если $\lim_{n\to\infty} S_n$ существует и конечен, ряд сходится; в противном случае он расходится. Знаменитые примеры:

• Геометрический ряд $\sum r^n$ сходится к $\frac{1}{1-r}$ при $|r| < 1$.
• Гармонический ряд $\sum \frac{1}{n}$ расходится (медленно).
• Базельская задача: $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

Сходимость определяется признаками: признак Даламбера (отношения), радикальный признак Коши, интегральный признак, признак сравнения, признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Ряды Тейлора приближают функции многочленами сколь угодно высокой степени — это основа численного анализа и приближений в физике.