Правило Лопиталя

Правило Лопиталя утверждает, что если $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ имеет неопределённость вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$, то

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

при условии, что предел в правой части существует (или равен $\pm\infty$).

Правило применимо только к этим двум видам неопределённостей. Другие неопределённости ($0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$) сначала нужно преобразовать к виду $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$.

Правило может потребоваться применять несколько раз, если новый предел всё ещё является неопределённостью. Оно часто резко упрощает иначе трудные пределы, например $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$.