Сходимость описывает случай, когда последовательность или ряд приближается к конечному пределу.

Последовательность: $\{a_n\}$ сходится к $L$ , если для любого $\varepsilon > 0$ существует $N$ такое, что $|a_n - L| < \varepsilon$ для всех $n > N$ .

Ряд: $\sum a_n$ сходится, если сходятся его частичные суммы $S_n$ .

Стандартные признаки:

Необходимый признак (n-го члена): $a_n \not\to 0$ → расходится.
Геометрический ряд: $\sum r^n$ сходится тогда и только тогда, когда $|r| < 1$ .
Признак сравнения: оценить через известный ряд.
Признак Даламбера (отношения): $\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → сходится.
Интегральный признак: связывает $\sum a_n$ с $\int_1^\infty f(x) dx$ .
Признак Лейбница (знакочередующийся ряд): $\sum (-1)^n b_n$ сходится, если $b_n$ монотонно стремится к $0$ .

Абсолютная сходимость ( $\sum |a_n|$ сходится) сильнее условной сходимости. Гармонический ряд $\sum 1/n$ расходится; $\sum (-1)^n/n$ сходится (знакочередующийся).