Теорема синусов

Теорема синусов справедлива для любого треугольника (не только прямоугольного):

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

где $a, b, c$ — длины сторон, противолежащих углам $A, B, C$, а $R$ — радиус описанной окружности.

Случаи применения:

1. УУС или УСУ: даны два угла и одна сторона — найти остальные стороны.
2. ССУ (неоднозначный случай): даны две стороны и угол, не заключённый между ними. Может давать ноль, один или два допустимых треугольника — всегда проверяйте.

Теорема косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ — это парная теорема для случаев ССС и САС. Вместе они полностью решают любой треугольник: имея любые три независимых параметра, можно найти все шесть (3 стороны + 3 угла).

Доказательство: опустите высоту из одной вершины; её длина равна $b \sin A$, если измерять одним способом, и $a \sin B$ — другим. Приравняв, получаем $a/\sin A = b/\sin B$.