Вектор

Вектор обладает как модулем, так и направлением, в отличие от скаляра, у которого есть только модуль.

Координаты: $\vec{v} = \langle x, y \rangle$ (2D) или $\langle x, y, z \rangle$ (3D). Модуль $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + \cdots}$.

Операции:

• Сложение / вычитание: покомпонентно.
• Умножение на скаляр: масштабирует модуль.
• Скалярное произведение: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum u_i v_i = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$ — измеряет согласованность направлений, даёт скаляр.
• Векторное произведение (только в 3D): $\vec{u} \times \vec{v}$ — перпендикулярно обоим, модуль $|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$.

Векторы описывают физику (сила, скорость), графику (положения, нормали), машинное обучение (векторы признаков, градиенты, эмбеддинги) и геометрию. Их обобщение на более высокие размерности и абстрактные пространства (гильбертовы пространства) лежит в основе значительной части современной математики.