AI Math
Открыть приложение
geometry

Вектор

Вектор — это величина, обладающая как модулем, так и направлением. Обозначение: ⟨x, y⟩ или ⟨x, y, z⟩. Векторы складываются покомпонентно и лежат в основе физики, графики и машинного обучения.

Вектор обладает как модулем, так и направлением, в отличие от скаляра, у которого есть только модуль.

Координаты: v⃗=⟨x,y⟩\vec{v} = \langle x, y \rangle (2D) или ⟨x,y,z⟩\langle x, y, z \rangle (3D). Модуль ∣v⃗∣=x2+y2+⋯|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + \cdots}.

Операции:

  • Сложение / вычитание: покомпонентно.
  • Умножение на скаляр: масштабирует модуль.
  • Скалярное произведение: u⃗⋅v⃗=∑uivi=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum u_i v_i = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta — измеряет согласованность направлений, даёт скаляр.
  • Векторное произведение (только в 3D): u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} — перпендикулярно обоим, модуль ∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta.

Векторы описывают физику (сила, скорость), графику (положения, нормали), машинное обучение (векторы признаков, градиенты, эмбеддинги) и геометрию. Их обобщение на более высокие размерности и абстрактные пространства (гильбертовы пространства) лежит в основе значительной части современной математики.