Треугольник

Треугольник — это простейший многоугольник: три вершины, три стороны, три внутренних угла. Сумма его углов всегда равна 180° (или $\pi$ радиан). Этот единственный факт лежит в основе огромной части геометрии.

Классификация по сторонам:

• Равносторонний: все три стороны равны (и все углы $60°$),
• Равнобедренный: по меньшей мере две стороны равны,
• Разносторонний: нет равных сторон.

По углам:

• Остроугольный: все углы $< 90°$,
• Прямоугольный: один угол $= 90°$,
• Тупоугольный: один угол $> 90°$.

Прямоугольные треугольники делают возможными теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) и всю область тригонометрии. Неравенство треугольника утверждает, что любая сторона короче суммы двух других — фундаментальное ограничение в геометрии, векторном анализе и метрических пространствах.

Площадь: $A = \frac{1}{2}bh$ (основание × высота ÷ 2), или формула Герона, когда известны только три длины сторон $a, b, c$: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, где $s = \frac{a+b+c}{2}$.