Geometry
ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพ
Real geometry questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
มุม ADB = 42° การคูณครึ่งมุมที่แบ่งไว้ด้วยสองได้มุม A = 56° จากนั้นผลรวมมุมให้ B = 110° และรูปสามเหลี่ยม ABD ปิดท้ายที่ 180° − 28° − 110°
เส้นสูงยาว 2√3 ซม. และมุม AGM เท่ากับ 60 องศา ความเท่ากันทุกประการแบบ ด.ม.ด. ของสามเหลี่ยม ABN กับ BCM ทำให้ AN = BM และตรึงมุมที่จุดตัดของทั้งสองเส้นไว้
BD = 20 ซม. และ CD = 30 ซม. จากอัตราส่วนของเส้นแบ่งครึ่งมุม 30:45 และเส้นขนานทั้งสองให้ DE = DF = 18 ซม. ความเท่ากันนี้เองที่ทำให้ AFDE เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
ลากเส้นผ่าน P ให้ขนานกับทั้งสองเส้น มุมภายในที่อยู่ข้างเดียวกันให้ 70 กับ 40 องศาบนสองฝั่งของเส้นนั้น มุมหักซิกแซกที่ P จึงเป็น 110 องศา
มุม A = 83 องศา เมื่อ AB = BC และ AD = CD รูปสี่เหลี่ยมนี้เป็นรูปว่าว ทำให้อีกสองมุมเท่ากัน คือ A = C = (360 − 58 − 136) / 2 = 83 องศา
คำตอบคือ 36, 72, 108 และ 144 องศา ให้ค่าร่วมเป็น x มุมจึงเป็น x, 2x, 3x, 4x ผลรวมเท่ากับ 360 องศา ได้ 10x = 360 และ x = 36
เขียนมุมทั้งสี่ในรูปของ M แล้วใช้ผลรวมมุม 360 องศาได้ 4x + 60 = 360 ดังนั้น x = 75 และมุมไล่เพิ่มขึ้นทีละ 10 องศา
เมื่อมุม B = 36 และมุม C = 76 จะได้มุม A = 68 ดังนั้นมุม BAD = 34 และมุม BAF = 54 จากนั้นมุม DAF = 20 มุม AFD = 90 และมุม ADF = 70
ข้อความนี้เป็นเท็จ มุมที่เท่ากันบังคับให้รูปร่างเหมือนกันแต่ไม่ได้บังคับขนาด ม.ม.ม. จึงให้เพียงความคล้าย ตัวอย่างค้านมาตรฐานคือรูปสามเหลี่ยม 3-4-5 กับ 6-8-10
เส้นรอบรูปคือ 8 + 6r และพื้นที่คือ √3·r(r + 4) ส่วนที่ยื่นออกแต่ละข้างยาว r ด้านประกอบ 2r ระยะยื่น r และความสูงจึงประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยม 30-60-90 ที่มีความสูง r√3
พื้นที่คือ 156 ตารางเมตร คูณความยาวด้านทั้งสอง และสังเกตว่าหน่วยกลายเป็นตารางเมตร เพราะเป็นการคูณความยาวสองค่าที่วัดเป็นเมตรเข้าด้วยกัน
พื้นที่คือ 168 ตารางหน่วย คูณ 14 ด้วย 12 ในทางตรงข้าม เส้นรอบรูปคือ 2(14 + 12) = 52 หน่วย ซึ่งเป็นสูตรคนละสูตรสำหรับปริมาณคนละอย่าง
พื้นที่คือ 12 ตารางเมตร รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ครอบตารางขนาด 4 คูณ 3 ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านละหนึ่งเมตร ซึ่งก็คือสิ่งที่การคูณความยาวด้านทั้งสองนับได้พอดี
คำตอบคือ 3500 ซม.² ซึ่งเท่ากับ 0.35 ม.² พื้นที่คือฐานคูณสูง และหน่วยก็คูณกันด้วย เซนติเมตรคูณเซนติเมตรจึงได้ตารางเซนติเมตร
ใช้ A = πr² และ π = 22/7 ตัด 35² = 1225 กับ 7 ได้ 22 × 175 = 3850 ตารางนิ้ว ค่าที่แน่นอนคือ 1225π = 3848.45 ตารางนิ้ว
พื้นที่คือ 962.5 ตารางเซนติเมตร การแก้ 2πr = 110 ด้วย π = 22/7 ให้ r = 17.5 พอดี และการยกกำลังสองรัศมีนั้นทำให้การคำนวณอยู่ในรูปเศษส่วนเต็ม
คำตอบคือ 282 ตารางเมตร เมื่อด้านตรงทั้งสองเป็นรัศมียาว 15 ม. และขอบโค้งยาว 37.6 ม. พื้นที่เซกเตอร์คือ A = rL/2 = 15 × 37.6 / 2
รูปหกเหลี่ยมที่ใหญ่กว่ามีพื้นที่ 225 ตารางเมตร พื้นที่ของรูปคล้ายขยายด้วยกำลังสองของอัตราส่วนด้าน จึงต้องคูณ 81 ด้วย (5/3)² = 25/9 ไม่ใช่คูณด้วย 5/3
รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ 54 ตารางเซนติเมตร หารเส้นรอบรูป 12 ซม. ด้วย 4 ได้ด้านยาว 3 ซม. ยกกำลังสองได้ 9 ตารางเซนติเมตรต่อรูป แล้วคูณด้วยจำนวนรูปทั้งหก
พื้นที่คือ 238.524 ตารางหน่วย การแยก 9.174 เป็น 9 + 0.174 ให้ 234 + 4.524 ซึ่งเร็วกว่าและตรวจง่ายกว่าการคูณทศนิยมตรง ๆ
คำตอบคือ 40 ตารางหน่วย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือความยาวคูณความกว้าง ดังนั้น A = 8 × 5 = 40 และผลคูณเดียวกันนี้ก็นับหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ปูเต็มรูปด้วย
วงแหวนมีพื้นที่ 423.5 ตารางนิ้ว การแยกตัวประกอบ R² − r² เป็น (R − r)(R + r) เปลี่ยน 441 − 306.25 ให้เป็นผลคูณที่ง่ายกว่ามากคือ 3.5 คูณ 38.5
พื้นที่คือ 128 ตารางเซนติเมตร รูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปมีพื้นที่ ½ × 8 × 8 = 32 ตารางเซนติเมตร และเนื่องจากรูปที่นำมาต่อไม่ทับซ้อนกัน การจัดวางจึงไม่มีผลต่อผลรวมเลย
เส้นสูงที่ลงสู่ฐานแบ่งครึ่งฐาน จึงได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 5-12-13 ความสูงเป็น 5 ซม. และพื้นที่เป็น (1/2)(24)(5) = 60 ตารางเซนติเมตร
ความยาวด้านทั้งสี่เพียงอย่างเดียวไม่ได้กำหนดพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม บทความนี้อธิบายเหตุผล และบอกว่าต้องรู้ค่าอะไรเพิ่ม (เส้นทแยงมุมหรือมุม) จึงจะคำนวณได้
รูปที่เล็กกว่ามีพื้นที่ 180 ตารางเมตร การย่อจาก 320 ใช้กำลังสองของอัตราส่วน คือ (3/4)² = 9/16 ไม่ใช่อัตราส่วน 3/4 เอง
พื้นที่เท่ากับ 42 เลื่อนเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งเพื่อสร้างสามเหลี่ยมด้าน 15, 7, 20 แล้วใช้สูตรของเฮรอน หรือหาความสูง 4.2 ตรง ๆ แล้วคูณด้วย 10
พื้นที่คือ y = 24 − 3x เมื่อ 0 < x < 8 ใช้ PB = 8 − x เป็นฐาน เนื่องจากมุม C เป็นมุมฉาก ด้าน AC = 6 จึงเป็นความสูงสำหรับทุกตำแหน่งของ P
อัตราส่วนพื้นที่คือ 4:9 รูปหลายเหลี่ยมคล้ายมีพื้นที่ขยายด้วยกำลังสองของอัตราส่วนความคล้าย อัตราส่วนด้าน 2:3 จึงกลายเป็น 2 กำลังสอง ต่อ 3 กำลังสอง หรือ 4:9
พื้นที่ร่วมเท่ากับ 2π พอดี หรือราว 6.283 จุดศูนย์กลางอยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉาก และวงกลมสัมผัสด้านประกอบทั้งสอง ส่วนที่ทับซ้อนจึงเป็นครึ่งหนึ่งของแผ่นวงกลมพอดี
เนื่องจาก Bm ขนานกับ Ay มุม xBm จึงเท่ากับมุม xAy เส้นแบ่งครึ่งของทั้งสองจึงทำมุมสมนัยเท่ากันกับ Ax และขนานกัน อีกทั้งเส้นแบ่งครึ่งของคู่มุมประกอบสองมุมฉาก xBm กับ ABm พบกันที่ 90 องศา
จุดศูนย์กลางคือ (5, −3) และรัศมีคือ r = 3 เทียบสมการกับรูปมาตรฐาน (x − h)² + (y − k)² = r² เนื่องจาก y + 3 คือ y − (−3) พิกัด y ของจุดศูนย์กลางจึงเป็น −3 และ r คือรากที่สองของ 9 ไม่ใช่ 9
ใช้ C = 2πr โดยให้ π = 22/7 เลข 7 ในตัวส่วนตัดกับ 28 ได้พอดี จึงเหลือ 2 × 22 × 4 = 176 ซม. ถ้าใช้ค่า π จริงจะได้ 175.93 ซม.
AB เท่ากับ √29 (ประมาณ 5.39) และ CD เท่ากับ √5 (ประมาณ 2.24) ดังนั้น AB ยาวกว่า การยกกำลังสองผลต่างของพิกัดทำให้ลำดับการลบไม่มีผล
มุม ACB เท่ากับ 44 องศา ให้มุม C = x เขียนมุม A เป็น 120 − x จากผลรวมมุมในสามเหลี่ยม หารสองเพราะ AL แบ่งครึ่งมุม A แล้วแก้สามเหลี่ยมเล็ก ALC
อสมการสามเหลี่ยมต้องการให้ผลรวมของด้านสั้นสองด้านมากกว่าด้านยาวที่สุดอย่างเคร่งครัด ในที่นี้ 4 + 7 = 11 รูปจึงยุบแบน และสร้างรูปสามเหลี่ยมไม่ได้เลย
สร้างได้หนึ่งรูปพอดี ความยาวด้านถูกกำหนดครบทั้งสามด้าน SSS จึงทำให้รูปสามเหลี่ยมมีเพียงรูปเดียว และอสมการสามเหลี่ยมเป็นจริงเพราะ 4 + 8 = 12 มากกว่า 11
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ c = 5 ยกกำลังสองด้านประกอบมุมฉากได้ 9 + 16 = 25 ซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์ นี่คือเหตุผลที่ 3-4-5 เป็นชุดสามพีทาโกรัสที่รู้จักกันดีที่สุด
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ c = √61 = 7.81 เนื่องจาก 61 เป็นจำนวนเฉพาะจึงไม่มีตัวประกอบที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ค่าในกรณฑ์จึงจัดรูปต่อไม่ได้ และคำตอบแบบพอดีอยู่ในรูปกรณฑ์
การเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งสองพิกัดส่งจุดไปอยู่อีกฟากของจุดกำเนิดที่ระยะเท่าเดิม นั่นคือการหมุนครึ่งรอบ ไม่ใช่การสะท้อน ซึ่งเปลี่ยนเครื่องหมายเพียงพิกัดเดียว
มุมภายนอกคือ 24, 48, 72, 96 และ 120 องศา มุมภายในจึงเป็น 156, 132, 108, 84 และ 60 องศา คิดเป็นอัตราส่วน 13:11:9:7:5 ซึ่งรวมกันได้ 540
จุดตัดสองจุดคือ (0.8800, 0.5081) และ (0.3821, 0.2206) แทนสมการเส้นตรงลงในสมการวงกลมได้สมการกำลังสองที่มีดิสคริมิแนนต์ 0.44074 จึงตัดกันสองจุด
เส้นสูงสองเส้นของสามเหลี่ยมหน้าจั่วตัดส่วนที่เท่ากันออกมา BK = CH ตามมาจากสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันทุกประการ และ KH ขนานกับ BC ตามบทกลับของทฤษฎีบทของทาลีส
ถ้า AB = AC และ D เป็นจุดกึ่งกลางของ BC แล้ว AD ตั้งฉากกับ BC พิสูจน์ด้วยความเท่ากันทุกประการแบบ ด.ด.ด. ร่วมกับมุมประชิดบนเส้นตรง พร้อมพิสูจน์ด้วยพิกัดซ้ำอีกรอบ
พื้นที่มากที่สุดคือ 121/4 = 30.25 ได้จากรูปสี่เหลี่ยมสูง 5.5 กว้าง 5.5 ความกว้างของคางหมูที่ความสูง x เท่ากับ 11 − x พื้นที่จึงเป็น x(11 − x)
AB เท่ากับ 5√2 หรือประมาณ 7.07 และจุดกึ่งกลางคือ (10, 0) สูตรระยะทางยกกำลังสองของผลต่างพิกัด ส่วนจุดกึ่งกลางใช้ค่าเฉลี่ย เครื่องหมายจึงสำคัญมากในสูตรหลัง
รูปมาตรฐานคือ (x + 4)² = −4(y − 2) จุดยอดคือ (−4, 2) โฟกัสคือ (−4, 1) แกนสมมาตรคือ x = −4 และไดเรกทริกซ์คือเส้นตรง y = 3
ลู่วิ่งยาว 44 + 14π = 88 ม. แต่ละมุมแลกขอบตรง 7 + 7 ม. กับส่วนโค้งหนึ่งในสี่วงกลม เส้นรอบรูปจึงลดลงมุมละ 3 ม.
ห้องที่ใหญ่กว่ามีค่าใช้จ่าย $384 ค่าใช้จ่ายแปรตามพื้นที่ และพื้นที่แปรตามกำลังสองของอัตราส่วนด้าน จึงคูณ $216 ด้วย (4/3) กำลังสอง = 16/9 ได้ $384
จุดยอดที่อยู่ติดกันสองจุดของจัตุรัสคือ (2, −1) และ (−1, 3) การหมุนเวกเตอร์ด้าน 90° ให้จัตุรัสที่ใช้ได้สองรูป คือ (3, 6) กับ (6, 2) หรือ (−5, 0) กับ (−2, −4)
สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านข้าง BC = 7 ซม. และจุดกึ่งกลางของด้านข้างตรงข้ามอยู่ห่างจาก BC 4 ซม. มีพื้นที่ 28 ตร.ซม. เคล็ดคือสามเหลี่ยม IBC เป็นครึ่งหนึ่งของคางหมูเสมอ
เส้นรอบรูปคือ 12 ไม่ใช่ "10 หรือ 12" สมการให้ด้าน 2 กับ 4 แต่ 2 ไม่ผ่านอสมการสามเหลี่ยมกับด้าน 3 และ 5 จึงใช้ได้เฉพาะราก 4
ทรงกระบอกเอียงมีภาคตัดลักษณะเฉพาะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้านยาว 2 ซม. มุม 60° จงหาปริมาตรโดยใช้พื้นที่ของรูปขนมเปียกปูนย้อนกลับไปหารัศมีและความสูง