จุดยอดที่อยู่ติดกันสองจุดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ A(2, −1) และ B(−1, 3) จงหาพิกัดของจุดยอดอีกสองจุด

Step-by-step solution

1. 1

   เปลี่ยนด้านที่โจทย์ให้มาเป็นเวกเตอร์ เนื่องจาก $A$ และ $B$ เป็นจุดยอดที่ ติดกัน ส่วนของเส้นตรง $AB$ จึงเป็นด้านเต็ม ๆ ด้านหนึ่งของจัตุรัส ไม่ใช่เส้นทแยงมุม เวกเตอร์ของมันคือ

   $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-2,\;3-(-1))=(-3,\,4),$

   ซึ่งมีความยาว $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$ จัตุรัสนี้จึงมีด้านยาว $5$

2. 2

   หมุนเวกเตอร์นั้นไป 90° เพื่อให้ได้ด้านที่ประชิดกัน ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านที่ติดกันตั้งฉากกันและยาวเท่ากัน ซึ่งเป็นสิ่งที่การหมุน $90^\circ$ สร้างให้พอดี การหมุน $(x,y)$ ทวนเข็มนาฬิกาให้ $(-y,x)$ และตามเข็มนาฬิกาให้ $(y,-x)$ จาก $(-3,4)$ จึงได้ตัวเลือกสองตัว

   $(-4,-3)\qquad\text{และ}\qquad(4,3),$

   ซึ่งยาว $5$ ทั้งคู่ การหมุนสองแบบหมายถึงจัตุรัสที่ใช้ได้สองรูป อยู่คนละฝั่งของ $AB$ โจทย์ตามที่เขียนไว้จึงมีคำตอบสองคำตอบ การให้เพียงคำตอบเดียวถือว่าไม่ครบ

3. 3

   กรณีที่ 1: เลื่อนด้วย $(4,3)$ การบวกเวกเตอร์นี้เข้ากับจุดยอดที่ให้มาแต่ละจุด เป็นการเลื่อนด้าน $AB$ ข้ามไปเป็นด้านตรงข้ามของจัตุรัส

   $D=A+(4,3)=(6,2),\qquad C=B+(4,3)=(3,6).$

   จัตุรัสรูปนี้คือ $A(2,-1)$, $B(-1,3)$, $C(3,6)$, $D(6,2)$

4. 4

   กรณีที่ 2: เลื่อนด้วย $(-4,-3)$ ใช้การหมุนอีกทิศหนึ่งจะได้จัตุรัสที่เป็นภาพสะท้อน

   $D=A+(-4,-3)=(-2,-4),\qquad C=B+(-4,-3)=(-5,0).$

   จัตุรัสรูปนี้คือ $A(2,-1)$, $B(-1,3)$, $C(-5,0)$, $D(-2,-4)$

5. 5

   ตรวจจัตุรัสทั้งสองรูป ในแต่ละกรณี ด้านทั้งสี่ยาว $5$ เท่ากันหมด และเส้นทแยงมุมทั้งสองยาว $5\sqrt{2}\approx 7.071$ การที่เส้นทแยงมุมยาวเท่ากันและเท่ากับด้าน$\times\sqrt2$ คือสิ่งที่แยกรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ส่วนผลคูณเชิงสเกลาร์ $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ ในทั้งสองกรณี ยืนยันว่ามุมเป็นมุมฉาก