จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีเส้นทแยงมุมยาว 15 และ 7 และมีเส้นกึ่งกลาง (มัธยฐาน) ยาว 10

Step-by-step solution

1. 1

   แปลงข้อมูลที่ให้มาเข้าสูตรพื้นที่มาตรฐาน สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านขนาน $a$ กับ $b$ และสูง $h$

   $S=\frac{a+b}{2}\,h=m\,h$

   โดย $m$ คือเส้นกึ่งกลาง ในที่นี้ $m=10$ ดังนั้น $S=10h$ และ $a+b=2m=20$ ทุกอย่างจึงเหลืออยู่ที่ความสูง ซึ่งโจทย์ไม่ได้ให้มาตรง ๆ

2. 2

   เลื่อนเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งไปด้านข้าง เพื่อรวบข้อมูลทั้งหมดไว้ในสามเหลี่ยมรูปเดียว เลื่อนเส้นทแยงมุม $BD$ ด้วยเวกเตอร์ $\vec{DC}$ (คือเลื่อนไปตามทิศของด้านขนาน) ปลายของมันจะไปตกบนส่วนต่อของฐานยาว เกิดเป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านสามด้านคือเส้นทแยงมุม $15$ กับ $7$ และฐานยาวเท่ากับ $a+b=20$ นี่คือกลไกสำคัญ เพราะการเลื่อนขนานไม่เปลี่ยนทั้งความยาวเส้นทแยงมุมและความสูงของรูป

3. 3

   อธิบายว่าทำไมสามเหลี่ยมนั้นมีพื้นที่เท่ากับคางหมู สามเหลี่ยมใหม่มีฐาน $a+b=20$ และมีความสูง $h$ เท่าเดิม พื้นที่จึงเป็น $\tfrac12(a+b)h=\tfrac{a+b}{2}h$ ซึ่งก็คือพื้นที่ของคางหมูพอดี การหาพื้นที่สามเหลี่ยม จึงเท่ากับ การหาพื้นที่คางหมู

4. 4

   ใช้สูตรของเฮรอนกับสามเหลี่ยมด้าน 15, 7, 20 ตรวจก่อนว่ามีจริง: $15+7=22>20$ ครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปคือ

   $s=\frac{15+7+20}{2}=21$

   และ

   $S=\sqrt{21(21-15)(21-7)(21-20)}=\sqrt{21\cdot 6\cdot 14\cdot 1}=\sqrt{1764}=42$

5. 5

   ตรวจคำตอบด้วยการหาความสูงตรง ๆ ฉายเส้นทแยงมุมทั้งสองลงบนแนวฐาน ส่วนฉายในแนวราบ $x$ กับ $20-x$ สอดคล้องกับ

   $15^2=x^2+h^2,\qquad 7^2=(20-x)^2+h^2$

   ลบกันเพื่อกำจัด $h^2$

   $225-49=x^2-(20-x)^2=40x-400\;\Longrightarrow\;40x=576\;\Longrightarrow\;x=14.4$

   แล้ว $h^2=225-14.4^2=225-207.36=17.64$ ได้ $h=4.2$ และ

   $S=10\cdot 4.2=42$

   สองวิธีที่เป็นอิสระต่อกันให้ผลตรงกัน พื้นที่จึงเท่ากับ $42$