มุมภายนอกทั้งห้าของรูปห้าเหลี่ยมนูนมีอัตราส่วน 1 : 2 : 3 : 4 : 5 จงหามุมภายในทั้งห้ามุม และอัตราส่วนระหว่างมุมเหล่านั้น

Step-by-step solution

1. 1

   เริ่มจากมุมภายนอก ไม่ใช่มุมภายใน เพราะผลรวมของมุมภายนอกเป็นข้อเท็จจริงที่ไม่ขึ้นกับจำนวนด้าน การเดินรอบรูปหลายเหลี่ยมนูนใด ๆ หนึ่งรอบทำให้เราหันตัวครบหนึ่งรอบพอดี ดังนั้น

   $\text{ผลรวมของมุมภายนอก}=360^\circ$

   ไม่ว่าจะเป็นสามเหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หรือร้อยเหลี่ยม ค่าคงตัวเดียวนี้คือสิ่งที่ทำให้อัตราส่วนที่โจทย์ให้มาใช้งานได้

2. 2

   ใส่ตัวประกอบมาตราส่วนแล้วแก้สมการ เขียนมุมภายนอกเป็น $k,2k,3k,4k,5k$ จะได้

   $k+2k+3k+4k+5k=15k=360^\circ$

   $k=24^\circ$

3. 3

   เขียนรายการมุมภายนอก

   $24^\circ,\quad 48^\circ,\quad 72^\circ,\quad 96^\circ,\quad 120^\circ$

   ทั้งห้ามุมน้อยกว่า $180^\circ$ และเป็นบวก รูปห้าเหลี่ยมนูนที่มีมุมเหล่านี้จึงเป็นไปได้ในเชิงเรขาคณิต

4. 4

   แปลงมุมภายนอกแต่ละมุมให้เป็นมุมภายใน ที่จุดยอดแต่ละจุด มุมภายในกับมุมภายนอกอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จึงรวมกันได้สองมุมฉาก

   $\text{มุมภายใน}=180^\circ-\text{มุมภายนอก}$

   $180-24=156^\circ,\quad 180-48=132^\circ,\quad 180-72=108^\circ,\quad 180-96=84^\circ,\quad 180-120=60^\circ$

5. 5

   ตรวจกับผลรวมมุมภายใน สำหรับรูป $n$ เหลี่ยม มุมภายในรวมกันได้ $(n-2)\cdot180^\circ$ ในที่นี้ $(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$

   $156+132+108+84+60=540\;\checkmark$

   นี่เป็นการยืนยันที่เป็นอิสระ เพราะใช้สูตรที่ไม่เคยถูกป้อนเข้าไปในการคำนวณเลย

6. 6

   ลดมุมภายในให้เป็นอัตราส่วน หาร $156:132:108:84:60$ ด้วยตัวประกอบร่วม $12$ ได้

   $13:11:9:7:5.$

   สังเกตว่าอัตราส่วนนี้ ไม่ใช่ $5:4:3:2:1$ เพราะการลบออกจาก $180^\circ$ ไม่ใช่การดำเนินการเชิงสัดส่วน อัตราส่วนของมุมภายนอกที่เป็นลำดับเลขคณิตจึงกลายเป็นอัตราส่วนของมุมภายในที่เป็นลำดับเลขคณิตอีกชุดหนึ่ง กับดักข้อนี้คือประเด็นของโจทย์