ในรูปสามเหลี่ยม ABC มี AB = 30 ซม. AC = 45 ซม. และ BC = 50 ซม. เส้นแบ่งครึ่งมุม A ตัด BC ที่ D (ก) จงหา BD และ CD (ข) ลากผ่าน D ให้ DE ขนานกับ AB โดย E อยู่บน AC และ DF ขนานกับ AC โดย F อยู่บน AB จงหา DE และ DF

Step-by-step solution

1. 1

   ใช้ทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่งมุม เส้นแบ่งครึ่งมุมภายในจาก $A$ แบ่งด้านตรงข้ามด้วยอัตราส่วนของด้านประกอบทั้งสอง

   $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$

   สังเกตว่ามัน ไม่ใช่ อัตราส่วนของอีกสองด้าน และไม่ใช่จุดกึ่งกลาง เส้นแบ่งครึ่งมุมจะไปตกใกล้ด้านที่สั้นกว่า

2. 2

   เปลี่ยนอัตราส่วนให้เป็นความยาว เขียน $BD=2x$ และ $CD=3x$ เนื่องจาก $D$ อยู่บนส่วนของเส้นตรง $BC$ ทั้งสองชิ้นจึงรวมกันได้ทั้งเส้น

   $2x+3x=50\quad\Longrightarrow\quad 5x=50\quad\Longrightarrow\quad x=10$

   ดังนั้น

   $BD=20\ \text{ซม.},\qquad CD=30\ \text{ซม.}$

   ตรวจ: $20+30=50$ ✓ และ $20:30=2:3$ ✓

3. 3

   หา DE ด้วยรูปสามเหลี่ยมคล้าย เนื่องจาก $DE\parallel AB$ มุมที่ $D$ และ $E$ ใน $\triangle CDE$ จึงเท่ากับมุมที่ $B$ และ $A$ ใน $\triangle CBA$ (มุมที่สมนัยกัน) ดังนั้น $\triangle CDE\sim\triangle CBA$ เมื่อจับคู่ $DE$ กับ $AB$ และ $CD$ กับ $CB$

   $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}\quad\Longrightarrow\quad \frac{DE}{30}=\frac{30}{50}\quad\Longrightarrow\quad DE=18\ \text{ซม.}$

   กุญแจสำคัญคือการจับคู่ $DE$ กับ $AB$ (ทั้งคู่อยู่ตรงข้ามมุมที่สมนัยกับจุดยอด $C$) ไม่ใช่จับคู่กับ $AC$

4. 4

   หา DF ด้วยวิธีเดียวกันจากจุดยอดอีกจุด เนื่องจาก $DF\parallel AC$ จะได้ $\triangle BDF\sim\triangle BCA$ ดังนั้น

   $\frac{DF}{AC}=\frac{BD}{BC}\quad\Longrightarrow\quad \frac{DF}{45}=\frac{20}{50}\quad\Longrightarrow\quad DF=18\ \text{ซม.}$

5. 5

   อธิบายว่าทำไม DE กับ DF จึงออกมาเท่ากัน ทั้งคู่เป็น $18$ ซม. และนั่นไม่ใช่เรื่องบังเอิญ เมื่อ $DE\parallel AB$ และ $DF\parallel AC$ รูปสี่เหลี่ยม $AFDE$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น $AF=DE$ และ $AE=DF$ แต่ $AD$ แบ่งครึ่งมุม $A$ และยังเป็นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นด้วย ซึ่งบังคับให้ด้านประชิดสองด้านเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จึงเป็น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ทำให้ $DE=DF$ ในเชิงพีชคณิต $AB\cdot\frac{CD}{BC}=AC\cdot\frac{BD}{BC}$ เป็นจริงพอดีเพราะ $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$

6. 6

   ตรวจด้วยพิกัด วาง $A=(0,0)$, $B=(30,0)$ และ $C$ ไว้ที่จุดที่ทำให้ $AC=45$, $BC=50$ แล้วหาตำแหน่ง $D$ ที่ $\tfrac{20}{50}$ ของระยะจาก $B$ ไป $C$ ระยะทางที่คำนวณได้คือ $BD=20.000$, $CD=30.000$ เส้น $AD$ ทำมุมเท่ากันกับ $AB$ และ $AC$ และเส้นขนานทั้งสองให้ $DE=18.000$ กับ $DF=18.000$ ✓