สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีฐานสั้น 5 ฐานยาว 11 และสูง 6 มีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแนบอยู่ภายในโดยด้านหนึ่งอยู่บนฐานยาวและด้านทั้งสี่ขนานกับฐาน จงหาพื้นที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้

Step-by-step solution

1. 1

   หาว่าความกว้างของคางหมูหดลงอย่างไรตามความสูง ฐานทั้งสองต่างกัน $11-5=6$ และโดยสมมาตร ด้านเอียงแต่ละข้างเบนเข้าด้านใน $\tfrac{6}{2}=3$ ตลอดความสูง $6$ ความกว้างจึงเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของความสูง $x$ เหนือฐานล่าง โดยลดจาก $11$ ที่ $x=0$ ไปเป็น $5$ ที่ $x=6$

   $w(x)=11-\frac{11-5}{6}\,x=11-x,\qquad 0\le x\le 6.$

2. 2

   เขียนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉากด้วยตัวแปรเดียว ให้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากสูง $x$ โดยฐานอยู่บนฐานยาว ขอบบนของมันอยู่ที่ความสูง $x$ และต้องอยู่ในคางหมู ตรงระดับนั้น ซึ่งเป็นจุดที่รูปแคบที่สุด เพราะความกว้างลดลงเรื่อย ๆ ขอบบนจึงเป็นเงื่อนไขที่ผูกมัด รูปสี่เหลี่ยมที่กว้างที่สุดจึงมีความกว้าง $w(x)=11-x$ และมีพื้นที่

   $A(x)=x(11-x)=11x-x^{2}.$

3. 3

   หาค่าสูงสุดของฟังก์ชันกำลังสอง $A(x)=-x^{2}+11x$ เป็นพาราโบลาคว่ำ ค่าสูงสุดจึงอยู่ที่จุดยอด

   $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-11}{2(-1)}=\frac{11}{2}=5.5.$

   ค่านี้อยู่ในช่วงที่อนุญาต $0\le x\le 6$ จึงเป็นค่าสูงสุดจริง ไม่ได้ถูกตัดด้วยจุดปลาย (การทำกำลังสองสมบูรณ์ให้ผลเดียวกัน คือ $A=\tfrac{121}{4}-\left(x-\tfrac{11}{2}\right)^{2}$)

4. 4

   คำนวณพื้นที่มากที่สุด

   $A\!\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{11}{2}\left(11-\frac{11}{2}\right)=\frac{11}{2}\cdot\frac{11}{2}=\frac{121}{4}=30.25.$

   รูปสี่เหลี่ยมที่ดีที่สุดบังเอิญเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว $5.5$

5. 5

   ตรวจความสมเหตุสมผลของคำตอบ ตัวคางหมูเองมีพื้นที่ $\tfrac{5+11}{2}\cdot 6=48$ รูปสี่เหลี่ยมที่ดีที่สุดจึงกินพื้นที่ $\tfrac{30.25}{48}\approx 63\%$ ของมัน ซึ่งฟังดูสมเหตุสมผล การไล่ค่า $A(x)=x(11-x)$ เชิงตัวเลขบน $[0,6]$ ทีละ $10^{-5}$ ให้ค่าสูงสุด $30.25$ ที่ $x=5.5$ ยืนยันการคำนวณจุดยอด