จงเขียน x² + 8x = -4y - 8 ในรูปมาตรฐาน แล้วระบุจุดยอด โฟกัส แกนสมมาตร และไดเรกทริกซ์ของพาราโบลา

Step-by-step solution

1. 1

   ตัดสินใจก่อนว่าจะทำกำลังสองสมบูรณ์กับตัวแปรใด มีเพียง $x$ เท่านั้นที่ถูกยกกำลังสอง นี่จึงเป็นพาราโบลาแนวตั้งในตระกูล $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ การจัดพจน์ที่มี $x$ ไว้ข้างหนึ่งและปล่อยให้ $y$ เป็นเชิงเส้นอีกข้างหนึ่ง คือสิ่งที่รูปนั้นต้องการพอดี

2. 2

   ทำกำลังสองสมบูรณ์ใน $x$ ครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ $8$ คือ $4$ และ $4^2 = 16$ จึงบวก $16$ ทั้งสองข้างเพื่อรักษาสมดุลของสมการ

   $x^2 + 8x + 16 = -4y - 8 + 16$

   $(x+4)^2 = -4y + 8$

3. 3

   แยกตัวประกอบข้างขวาเพื่อเผยค่า $4p$ กับ $k$ ดึง $-4$ ออกมาจะได้สมการในรูปมาตรฐาน

   $(x+4)^2 = -4(y-2)$

   เทียบกับ $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ จะได้ $h=-4$, $k=2$ และ $4p=-4$ ดังนั้น $p=-1$ การที่ $p$ เป็นลบบอกว่าพาราโบลาคว่ำลง

4. 4

   อ่านจุดยอดและแกนสมมาตร จุดยอดคือ $(h,k) = (-4,\,2)$ และแกนสมมาตรคือเส้นตรงแนวตั้งที่ผ่านจุดนั้น คือ $x=-4$ ทุกจุดบนเส้นโค้งสะท้อนข้ามเส้นนี้ได้

5. 5

   หาโฟกัสและไดเรกทริกซ์จากค่า $p$ โฟกัสอยู่ห่างจากจุดยอด $|p|$ หน่วย ไปทาง ด้านใน ของเส้นโค้ง ส่วนไดเรกทริกซ์อยู่ห่างเท่ากันแต่ไปทางด้านนอก

   $\text{โฟกัส} = (h,\ k+p) = (-4,\ 1), \qquad \text{ไดเรกทริกซ์: } y = k - p = 3$

6. 6

   ตรวจด้วยบทนิยามของพาราโบลา จุดใด ๆ บนเส้นโค้งต้องอยู่ห่างจากโฟกัสและจากไดเรกทริกซ์เป็นระยะเท่ากัน ลองใช้ $x=0$ ซึ่งให้ $y=-2$ ระยะไปยังโฟกัส $(-4,1)$ คือ $\sqrt{4^2+3^2}=5$ และระยะไปยังเส้น $y=3$ คือ $|-2-3| = 5$ ทั้งสองตรงกัน ยืนยันโฟกัสและไดเรกทริกซ์