ติดตรงนี้? แก้มันด้วย AI
Geometry · real student question

ในรูปสามเหลี่ยม ABC เส้น AF เป็นเส้นสูงลงสู่ BC และ AD เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม BAC กำหนดมุม B = 36 องศา และมุม C = 76 องศา จงหามุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ADF

Question

ใน △ABC\triangle ABC เส้น AFAF เป็นเส้นสูงลงสู่ด้าน BCBC และ ADAD แบ่งครึ่ง ∠BAC\angle BAC (โดย DD และ FF อยู่บน BCBC) กำหนด ∠B=36∘\angle B=36^{\circ} และ ∠C=76∘\angle C=76^{\circ} จงหามุมทั้งสามของ △ADF\triangle ADF

Step-by-step solution

  1. หามุมยอด มุมของ △ABC\triangle ABC รวมกันได้ 180∘180^{\circ}

    ∠A=180∘−36∘−76∘=68∘\angle A=180^{\circ}-36^{\circ}-76^{\circ}=68^{\circ}

  2. ใช้เส้นสูงเพื่อหา ∠BAF ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABFABF มุมที่ FF เป็น 90∘90^{\circ} ดังนั้น

    ∠BAF=90∘−∠B=90∘−36∘=54∘\angle BAF=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}

  3. ใช้เส้นแบ่งครึ่งมุมเพื่อหา ∠BAD

    ∠BAD=∠A2=68∘2=34∘\angle BAD=\frac{\angle A}{2}=\frac{68^{\circ}}{2}=34^{\circ}

    เนื่องจาก 34∘<54∘34^{\circ}<54^{\circ} รังสี ADAD จึงอยู่ระหว่าง ABAB กับ AFAF ดังนั้น DD อยู่ระหว่าง BB กับ FF บนฐาน

  4. ลบกันเพื่อหามุมที่ A ในรูปสามเหลี่ยม ADF

    ∠DAF=∠BAF−∠BAD=54∘−34∘=20∘\angle DAF=\angle BAF-\angle BAD=54^{\circ}-34^{\circ}=20^{\circ}

  5. อ่านมุมอีกสองมุมออกมา AF⊥BCAF\perp BC และ DD อยู่บน BCBC ดังนั้น

    ∠AFD=90∘\angle AFD=90^{\circ}

    และมุมของ △ADF\triangle ADF ต้องรวมกันได้ 180∘180^{\circ}

    ∠ADF=180∘−20∘−90∘=70∘\angle ADF=180^{\circ}-20^{\circ}-90^{\circ}=70^{\circ}

    ∠DAF=20∘, ∠AFD=90∘, ∠ADF=70∘\boxed{\angle DAF=20^{\circ},\ \angle AFD=90^{\circ},\ \angle ADF=70^{\circ}}

  6. ตรวจ ∠ADF ด้วยวิธีที่สอง ผ่านรูปสามเหลี่ยม ABD ใน △ABD\triangle ABD: ∠ABD=36∘\angle ABD=36^{\circ} และ ∠BAD=34∘\angle BAD=34^{\circ} ดังนั้น ∠ADB=110∘\angle ADB=110^{\circ} เนื่องจาก BB, DD, FF อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จึงได้ ∠ADF=180∘−110∘=70∘\angle ADF=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ} ✓ ตรงกับเส้นทางแรก

  7. สังเกตกฎทั่วไปที่โจทย์นี้แสดงให้เห็น มุมระหว่างเส้นสูงกับเส้นแบ่งครึ่งมุมที่ออกจากจุดยอดเดียวกัน เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของอีกสองมุมเสมอ: 12(∠C−∠B)=12(76∘−36∘)=20∘\tfrac12\left(\angle C-\angle B\right)=\tfrac12(76^{\circ}-36^{\circ})=20^{\circ} ซึ่งเท่ากับ ∠DAF\angle DAF พอดี พึงระวังเฉลยที่รายงาน ∠AFD\angle AFD เป็นค่าอื่นที่ไม่ใช่ 90∘90^{\circ} เพราะเท้าของเส้นสูงบังคับให้มุมตรงนั้นเป็นมุมฉาก

Answer

∠DAF=20∘, ∠AFD=90∘, ∠ADF=70∘\angle DAF=20^{\circ},\ \angle AFD=90^{\circ},\ \angle ADF=70^{\circ}

Need to solve a different problem like this? Open the solver →