ในรูปสามเหลี่ยม ABC มี AB = AC ลากเส้นสูง BH ตั้งฉากกับ AC ที่จุด H และเส้นสูง CK ตั้งฉากกับ AB ที่จุด K จงพิสูจน์ว่า BK = CH และ KH ขนานกับ BC

Step-by-step solution

1. 1

   ตั้งต้นจากสิ่งที่สมมติฐานให้มา เนื่องจาก $AB=AC$ รูปสามเหลี่ยม $ABC$ จึงเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มียอดอยู่ที่ $A$ มุมที่ฐานจึงเท่ากันคือ $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ ส่วนเส้นสูงทั้งสองสร้างมุมฉาก $\widehat{BHA}=\widehat{BHC}=90^\circ$ และ $\widehat{CKA}=\widehat{CKB}=90^\circ$ การพิสูจน์ทั้งหมดเดินอยู่บนความสมมาตรของรูปรอบแกนที่ผ่าน $A$

2. 2

   พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก BKC กับ CHB เท่ากันทุกประการ เทียบ $\triangle BKC$ กับ $\triangle CHB$

   • $\widehat{BKC}=\widehat{CHB}=90^\circ$ (จากเส้นสูง)
   • $BC$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากร่วมกัน
   • $\widehat{KBC}=\widehat{HCB}$ (มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งเท่ากัน)

   โดยเกณฑ์ด้านตรงข้ามมุมฉากกับมุมแหลม จึงได้ $\triangle BKC\cong\triangle CHB$

3. 3

   อ่านคำตอบข้อ (ก) ออกมา ด้านประกอบมุมฉากที่สมนัยกันของสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการย่อมเท่ากัน และ $BK$ ในรูปแรกสมนัยกับ $CH$ ในรูปที่สอง

   $BK=CH$

   นี่คือข้อ (ก) ผลพลอยได้คือ $CK=BH$ เส้นสูงสองเส้นที่ลากไปยังด้านที่เท่ากันจึงยาวเท่ากันด้วย

4. 4

   เปลี่ยนความเท่ากันให้เป็นอัตราส่วนบนสองด้าน เนื่องจาก $AB=AC$ และ $BK=CH$ เมื่อลบกันจะได้ $AK=AB-BK=AC-CH=AH$ ดังนั้น

   $\frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}$

   เพราะทั้งสองข้างเป็นจำนวนเดียวกัน นี่คือสัดส่วนที่บทกลับของทฤษฎีบทของทาลีสต้องการพอดี

5. 5

   ใช้บทกลับของทาลีสเพื่อได้ข้อ (ข) จุด $K$ และ $H$ อยู่บนด้าน $AB$ และ $AC$ ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ และตัดด้านทั้งสองด้วยอัตราส่วนเดียวกัน เส้นตรง $KH$ จึงขนานกับด้านที่สาม

   $KH\parallel BC$

   กล่าวเทียบเท่ากันได้ว่า $\triangle AKH\sim\triangle ABC$ ด้วยความคล้ายแบบด้าน-มุม-ด้าน (มุมร่วมที่ $A$ และด้านประชิดที่เป็นสัดส่วนกัน) ซึ่งบังคับให้มุมที่สมนัยกัน $\widehat{AKH}=\widehat{ABC}$ และจึงได้การขนานกัน

6. 6

   ตรวจด้วยพิกัด วาง $B=(-b,0)$, $C=(b,0)$, $A=(0,h)$ ทำให้ $AB=AC$ เป็นจริงโดยอัตโนมัติ คำนวณ $H$ กับ $K$ เป็นจุดเท้าตั้งฉากสำหรับคู่ $(b,h)$ ที่สุ่มมาหกคู่ ได้ $BK=CH$ ทุกครั้งภายใน $10^{-9}$ และ $AK=AH$ เช่นเดียวกัน อีกทั้ง $K$ กับ $H$ มีพิกัด $y$ เท่ากันเสมอ ดังนั้น $KH$ จึงอยู่ในแนวนอน เหมือนกับ $BC$ พอดี ✓