รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วมีจุดยอดที่ (0,0), (4,0) และ (0,4) วงกลมรัศมี 2 มีจุดศูนย์กลางที่ (2,2) จงหาพื้นที่ที่เป็นของทั้งสองรูปร่วมกัน

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนทั้งสองบริเวณเป็นอสมการ รูปสามเหลี่ยมคือ $x\ge0$, $y\ge0$, $x+y\le4$ ส่วนแผ่นวงกลมคือ

   $(x-2)^2+(y-2)^2\le 4$

   ส่วนที่ทับซ้อนคือเซตที่สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสี่พร้อมกัน จึงต้องตรวจเงื่อนไขทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมเทียบกับแผ่นวงกลมทีละข้อ

2. 2

   ตรวจเงื่อนไขด้านตรงข้ามมุมฉาก จุดศูนย์กลาง $(2,2)$ สอดคล้องกับ $2+2=4$ จุดศูนย์กลางจึงอยู่ บน เส้น $x+y=4$ พอดี เส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมคือเส้นเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งตัดแผ่นวงกลมออกเป็นครึ่งที่เท่ากันทุกประการสองครึ่ง

   $\text{พื้นที่ของแผ่นวงกลมส่วนที่ }x+y\le4=\tfrac12\pi(2)^2=2\pi$

3. 3

   ตรวจเงื่อนไขด้านประกอบมุมฉากทั้งสอง ระยะจาก $(2,2)$ ถึงแกน $x$ เท่ากับ $2$ และถึงแกน $y$ เท่ากับ $2$ ทั้งคู่เท่ากับรัศมีพอดี วงกลมจึง สัมผัส แกนทั้งสอง (แตะที่ $(2,0)$ และ $(0,2)$) และไม่เคยตัดผ่านแกนใดเลย

   แผ่นวงกลมจึงอยู่ภายใน $x\ge0,\ y\ge0$ ทั้งหมด และด้านประกอบมุมฉากไม่ได้ตัดอะไรออกไปเลย

4. 4

   รวมผลการตรวจทั้งสาม มีเพียงด้านตรงข้ามมุมฉากที่ตัดแผ่นวงกลม และมันแบ่งครึ่งพอดี อินเตอร์เซกชันจึงเป็นครึ่งแผ่นวงกลมด้าน $x+y\le4$ พอดี

   $\text{พื้นที่}=\tfrac12\cdot\pi r^2=\tfrac12\cdot 4\pi=2\pi$

5. 5

   ตรวจทานขนาดของคำตอบ รูปสามเหลี่ยมมีพื้นที่ $\tfrac12(4)(4)=8$ และแผ่นวงกลมเต็มมีพื้นที่ $4\pi\approx12.57$ ส่วนที่ทับซ้อน $2\pi\approx6.283$ จึงน้อยกว่าทั้งสองค่า และครอบคลุมราว 79% ของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งสอดคล้องกับครึ่งแผ่นวงกลมที่ซุกอยู่ชิดด้านตรงข้ามมุมฉาก ✓