รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีฐานบนยาว 4 ฐานล่างยาว 4 + 2r และด้านประกอบสองด้านยาวด้านละ 2r จงหาพื้นที่และเส้นรอบรูปในรูปของ r

Step-by-step solution

1. 1

   บวกด้านทั้งสี่เพื่อหาเส้นรอบรูป ขั้นนี้ไม่ต้องใช้ความสูงเลย

   $P=4+(4+2r)+2r+2r=8+6r.$

2. 2

   แบ่งส่วนที่ยื่นออกเพื่อสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ฐานล่างยาวกว่าฐานบนอยู่ $(4+2r)-4=2r$ ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ส่วนเกินนี้ถูกแบ่งเท่า ๆ กันไปยังปลายทั้งสองข้าง แต่ละข้างจึงยื่นออก

   $\frac{2r}{2}=r.$

   การลากเส้นตั้งฉากจากจุดยอดบนแต่ละจุดสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $2r$ (ด้านประกอบ) และด้านแนวนอนยาว $r$

3. 3

   หาความสูงด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส

   $h^{2}+r^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}\;\Longrightarrow\;h^{2}=3r^{2}\;\Longrightarrow\;h=r\sqrt3.$

   อัตราส่วน $r:r\sqrt3:2r$ คือรูปสามเหลี่ยม 30-60-90 ด้านประกอบแต่ละด้านจึงพบฐานยาวที่มุม $60^{\circ}$ พอดี ซึ่งไม่ขึ้นกับ $r$ นี่คือเหตุผลที่รูปนี้คล้ายกันสำหรับทุกค่า $r$

4. 4

   ใช้สูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

   $A=\frac12\bigl(\text{ฐานบน}+\text{ฐานล่าง}\bigr)h=\frac12\bigl(4+4+2r\bigr)\bigl(r\sqrt3\bigr)=\frac12\cdot 2(4+r)\cdot r\sqrt3=\sqrt3\,r(r+4).$

5. 5

   ตรวจสูตรด้วยค่าจริงค่าหนึ่งและสังเกตเงื่อนไข ทุกค่า $r>0$ ให้รูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีอยู่จริง เพราะความสูง $r\sqrt3$ เป็นบวก ลองใช้ $r=1$: ฐานเป็น $4$ กับ $6$ ด้านประกอบเป็น $2$ ความสูงเป็น $\sqrt3=1.7320508$ เส้นรอบรูป $=4+6+2+2=14=8+6(1)$ ✓ และพื้นที่ $=\tfrac12(10)(1.7320508)=8.660254$ ขณะที่ $\sqrt3(1)(5)=8.660254$ ✓