ความยาวด้าน 4, 8 และ 11 สร้างรูปสามเหลี่ยมที่ต่างกันได้กี่รูป

Step-by-step solution

1. 1

   ดูให้ออกว่าต้องใช้เกณฑ์การมีอยู่แบบใด โจทย์ให้ด้านมาครบทั้งสามด้าน จึงเป็นสถานการณ์แบบ SSS ต่างจาก SSA ตรงที่ SSS ไม่มีกรณีกำกวมเลย ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีอยู่จริงก็จะมีเพียงรูปเดียวเมื่อมองว่าเท่ากันทุกประการ คำตอบจึงเป็นได้แค่ $0$ หรือ $1$ เท่านั้น

2. 2

   เขียนอสมการสามเหลี่ยม ความยาวที่เป็นบวกสามค่าจะประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ก็ต่อเมื่อแต่ละค่าสั้นกว่าผลรวมของอีกสองค่า

   $a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a$

3. 3

   ตรวจอสมการทั้งสามข้อด้วย $a=4$, $b=8$, $c=11$

   $4+8=12>11\qquad\checkmark$
   $4+11=15>8\qquad\checkmark$
   $8+11=19>4\qquad\checkmark$

   ในทางปฏิบัติตรวจเพียงข้อแรกก็พอ เพราะอสมการที่เกี่ยวกับด้านที่ยาวที่สุดคือข้อที่คับที่สุดเสมอ

4. 4

   สังเกตว่ากรณีนี้เฉียดฉิวแค่ไหน ระยะห่างมีเพียง $12>11$ ถ้าด้านที่ยาวที่สุดเป็น $12$ ความยาวทั้งสามจะเรียงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (สามเหลี่ยมยุบแบน) และถ้าเป็น $13$ ก็จะสร้างรูปสามเหลี่ยมไม่ได้เลย

5. 5

   สรุป อสมการเป็นจริงครบทั้งสามข้อ และ SSS ตรึงรูปร่างไว้แล้ว จึงสร้างรูปสามเหลี่ยมได้

   $\boxed{1}$

   รูปพอดี ตรวจเพิ่มได้อีกทางคือ มุมที่ใหญ่ที่สุดซึ่งอยู่ตรงข้ามด้าน $11$ สอดคล้องกับ $\cos C=\tfrac{16+64-121}{2\cdot 4\cdot 8}=-\tfrac{41}{64}$ ซึ่งเป็นค่าโคไซน์ที่ใช้ได้ ให้ $C\approx 129.8^\circ$ เป็นมุมป้านตามที่คาดไว้เมื่อด้านที่ยาวที่สุดพอดีเฉียดฉิว