สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านสองด้านยาว 3 และ 5 ความยาวของด้านที่สามเป็นรากของสมการ x กำลังสอง ลบ 6x บวก 8 เท่ากับ 0 จงหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมนี้

Step-by-step solution

1. 1

   แก้สมการกำลังสองเพื่อหาค่าที่เป็นไปได้ แยกตัวประกอบโดยหาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ $8$ และบวกกันได้ $-6$

   $x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{หรือ}\ x=4.$

   ทั้งสองค่าเป็นบวก จึงผ่านตัวกรองที่เห็นได้ชัดว่า "ความยาวต้องเป็นบวก" ทั้งคู่ และนั่นแหละคือกับดักที่โจทย์ข้อนี้สร้างไว้

2. 2

   นึกถึงเงื่อนไขที่สมการกำลังสองไม่รู้เรื่องด้วยเลย จำนวนบวกสามจำนวนจะประกอบเป็นสามเหลี่ยมได้ก็ต่อเมื่อแต่ละด้านสั้นกว่าผลบวกของอีกสองด้าน เมื่อด้านที่รู้ค่าคือ $3$ กับ $5$ ด้านที่สาม $x$ จึงต้องสอดคล้องกับ

   $5-3<x<5+3,\qquad\text{นั่นคือ}\qquad 2<x<8.$

3. 3

   ทดสอบ $x=2$ ตรงนี้ $3+2=5$ ซึ่ง เท่ากับ ด้านที่เหลือ ไม่ใช่มากกว่า ส่วนของเส้นตรงทั้งสามจะเรียงแบนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน กลายเป็นรูปเสื่อมที่ไม่มีพื้นที่ $x=2$ จึงต้องถูกตัดทิ้ง

4. 4

   ทดสอบ $x=4$ ตรวจอสมการทั้งสามข้อ: $3+5=8>4$, $3+4=7>5$ และ $5+4=9>3$ เป็นจริงอย่างเข้มงวดทั้งหมด สามเหลี่ยมจริงที่มีด้าน $3$, $4$, $5$ จึงมีอยู่ และที่จริงคือสามเหลี่ยมมุมฉากที่คุ้นเคย เพราะ $3^2+4^2=5^2$

5. 5

   คำนวณเส้นรอบรูป มีรากที่ใช้ได้เพียงรากเดียว คำตอบจึงมีค่าเดียว

   $P=3+5+4=12.$

   การตอบว่า "$10$ หรือ $12$" คือความผิดพลาดมาตรฐาน มันเกิดจากการใช้รากทั้งสองโดยไม่ได้ใช้อสมการสามเหลี่ยม