รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าสองรูปมีด้านอัตราส่วน 3:5 รูปที่เล็กกว่ามีพื้นที่ 81 ตารางเมตร รูปที่ใหญ่กว่ามีพื้นที่เท่าใด เลือกจาก 240, 125, 135 หรือ 225 ตารางเมตร

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่ารูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าทุกรูปคล้ายกัน การมีด้านเท่ากันหกด้านและมุมเท่ากันหกมุมตรึงรูปร่างไว้ครบถ้วน รูปหกเหลี่ยมทั้งสองจึงต่างกันเพียงตัวประกอบมาตราส่วน นั่นคือสิ่งที่อนุญาตให้ใช้กฎของความคล้าย และ ไม่ จำเป็นต้องใช้สูตรพื้นที่รูปหกเหลี่ยม $\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ เลย

2. 2

   นึกถึงพฤติกรรมของพื้นที่ภายใต้การขยาย ถ้าความยาวขยายด้วย $k$ พื้นที่จะขยายด้วย $k^2$ เพราะพื้นที่เป็นผลคูณของความยาวสองค่า ในที่นี้

   $k=\frac{\text{ด้านของรูปใหญ่}}{\text{ด้านของรูปเล็ก}}=\frac{5}{3}\quad\Longrightarrow\quad \frac{A_{\text{ใหญ่}}}{A_{\text{เล็ก}}}=k^{2}=\frac{25}{9}.$

3. 3

   คูณพื้นที่ที่ทราบด้วยอัตราส่วนยกกำลังสอง

   $A_{\text{ใหญ่}}=81\cdot\frac{25}{9}=9\cdot 25=225\ \text{ม.}^2.$

   เลข $9$ หาร $81$ ลงตัวพอดี ซึ่งเป็นสัญญาณที่ดีว่าโจทย์ถูกออกแบบมาสำหรับเส้นทางนี้

4. 4

   ยืนยันด้วยสูตรตรง ๆ สำหรับรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีด้านยาว $s$ พื้นที่คือ $A=\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ จาก $81=\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ ได้ $s^2=\tfrac{162}{3\sqrt3}=\tfrac{54}{\sqrt3}$ และด้านของรูปใหญ่สอดคล้องกับ $S=\tfrac53 s$ ดังนั้น $S^2=\tfrac{25}{9}s^2$ และ $A_{\text{ใหญ่}}=\tfrac{25}{9}\cdot 81=225$ คำตอบเดียวกัน แต่ทำงานมากกว่า

5. 5

   ตัดตัวเลือกลวงออก $135=81\cdot\tfrac53$ เกิดจากการขยายด้วยอัตราส่วนแทนที่จะเป็นกำลังสองของมัน ซึ่งเป็นกับดักมาตรฐาน ส่วน $125=5^3$ และ $240$ ไม่สอดคล้องกับสิ่งใดในโจทย์เลย คำตอบคือ $225\ \text{ม.}^2$