ทรงกระบอกเอียงมีภาคตัดลักษณะเฉพาะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านยาว 2 ซม. และมุม 60° จงหาปริมาตรของทรงกระบอกนี้

Step-by-step solution

1. 1

   จำไว้ว่าความเอียงไม่เปลี่ยนสูตรปริมาตร ตามหลักการของคาวาเลียรี สำหรับทรงกระบอก ใด ๆ ไม่ว่าตรงหรือเอียง

   $V = (\text{พื้นที่ฐาน}) \times (\text{ความสูง})$

   โดยความสูงวัดตั้งฉากกับฐาน ไม่ใช่วัดตามแกนที่เอียงอยู่

2. 2

   เข้าใจว่าภาคตัดลักษณะเฉพาะคืออะไร มันคือภาคตัดที่ได้จากระนาบซึ่งผ่านแกนและตั้งฉากกับฐาน พื้นที่ของมันคือ

   $A_{\text{char}} = (\text{เส้นผ่านศูนย์กลางฐาน}) \times (\text{ความสูง}) = 2r \cdot h$

3. 3

   คำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สำหรับรูปขนมเปียกปูนที่มีด้านยาว $a$ และมุมระหว่างด้าน $\varphi$

   $A_{\text{rhombus}} = a^2 \sin\varphi = 2^2 \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \text{cm}^2$

4. 4

   เชื่อมสองอย่างเข้าด้วยกัน ให้ $2rh = 2\sqrt{3}$ จะได้

   $rh = \sqrt{3}$

5. 5

   ใช้เงื่อนไขรูปขนมเปียกปูนตรึง $r$ กับ $h$ แยกกัน ในภาคตัดตามแกน ความยาวด้านทั้งสองคือเส้นผ่านศูนย์กลางฐาน $2r$ กับความยาวเส้นก่อกำเนิด $L$ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีด้านเท่ากันทั้งสี่ด้าน ดังนั้น

   $2r = L = a = 2 \implies r = 1,\qquad L = 2$

   ความสูงในแนวตั้งฉากจึงเป็น $h = L\sin\varphi = 2\sin 60^\circ = \sqrt{3}$

6. 6

   แทนลงในสูตรปริมาตร

   $V = \pi r^2 h = \pi (1)^2 \sqrt{3} = \sqrt{3}\,\pi \approx 5.44\ \text{cm}^3$

   ตรวจความสอดคล้องเร็ว ๆ: $2rh = 2(1)(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$ ซึ่งตรงกับพื้นที่รูปขนมเปียกปูนจากขั้นที่ 3