รังสี Mx และ Ny ขนานกัน และจุด P อยู่ระหว่างเส้นทั้งสอง โดยมุม xMP เท่ากับ 110 องศา และมุม yNP เท่ากับ 140 องศา จงหามุม MPN

Step-by-step solution

1. 1

   ลากเส้นช่วยผ่าน P ให้ขนานกับทั้งสองเส้น มุมสองมุมที่โจทย์ให้มาอยู่คนละจุดยอด จึงยังไม่มีอะไรเชื่อมโยงกัน การลากรังสี $Pz$ ผ่าน $P$ ให้ขนานกับ $Mx$ (และจึงขนานกับ $Ny$ ด้วย) จะแบ่ง $\angle MPN$ ออกเป็นสองชิ้น โดยแต่ละชิ้นผูกกับมุมที่โจทย์ให้มาหนึ่งมุม

2. 2

   ใช้มุมภายในข้างเดียวกันที่จุด M $Mx\parallel Pz$ โดยมี $MP$ เป็นเส้นตัด ดังนั้น $\angle xMP$ กับ $\angle MPz$ เป็นมุมภายในข้างเดียวกันและรวมกันได้ $180^{\circ}$

   $\angle MPz=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$

3. 3

   ใช้มุมภายในข้างเดียวกันที่จุด N ในทำนองเดียวกัน $Ny\parallel Pz$ โดยมี $NP$ เป็นเส้นตัด

   $\angle NPz=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$

4. 4

   บวกสองชิ้นเข้าด้วยกัน เนื่องจาก $Pz$ อยู่ภายใน $\angle MPN$ (ซึ่งเป็นสิ่งที่ข้อความ "$P$ อยู่ระหว่างเส้นทั้งสอง" รับประกันไว้)

   $\angle MPN=\angle MPz+\angle NPz=70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}$

   $\boxed{110^{\circ}}$

5. 5

   สังเกตวิธีลัดและเงื่อนไขที่ทำให้มันใช้ได้ การคำนวณเดียวกันนี้เขียนเป็นบรรทัดเดียวได้ว่า

   $\angle MPN=360^{\circ}-110^{\circ}-140^{\circ}=110^{\circ}$

   เพราะมุมทั้งสาม $\angle xMP$, $\angle MPN$ และ $\angle yNP$ ปิดล้อมรอบเส้นช่วยพอดี วิธีลัดนี้ใช้ได้เมื่อจุดหักซิกแซกอยู่ระหว่างเส้นขนานทั้งสองจริง ๆ ถ้ามันอยู่นอกแถบ สองชิ้นนั้นจะต้อง ลบ กันแทนที่จะบวกกัน

6. 6

   ตรวจทานขนาดของคำตอบ มุมที่โจทย์ให้มาทั้งสองเป็นมุมป้าน แต่ละมุมจึงให้ชิ้นส่วนมุมแหลมขนาดพอประมาณที่ $P$ ($70^{\circ}$ กับ $40^{\circ}$) และผลรวม $110^{\circ}$ เป็นมุมป้านแต่ยังน้อยกว่า $180^{\circ}$ ซึ่งสอดคล้องกับการที่ $P$ อยู่ระหว่างเส้นทั้งสองอย่างเคร่งครัด