จงหาจุดที่วงกลม (x − 0.5334)² + (y − 0.5334)² = 0.3475² ตัดกับเส้นตรง (√3/3)·x − y = 0

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนสมการเส้นตรงให้ $y$ อยู่ในรูปของ $x$

   $y=\frac{\sqrt3}{3}x=\frac{x}{\sqrt3}\approx 0.5773503\,x$

   เส้นตรงนี้ผ่านจุดกำเนิดโดยทำมุม $30^\circ$ เพราะความชันของมันคือ $\tan 30^\circ$

2. 2

   แทนลงในสมการวงกลม การแทนที่ $y$ เปลี่ยนระบบสองตัวแปรให้เป็นสมการกำลังสองเดียว

   $(x-0.5334)^2+\left(\frac{x}{\sqrt3}-0.5334\right)^2=0.3475^2$

   กระจายแล้วรวบตามกำลังของ $x$ ได้ $Ax^2+Bx+C=0$ โดยที่

   $A=1+\frac13=\frac43,\qquad B=-2(0.5334)-\frac{2(0.5334)}{\sqrt3}=-1.6827173,\qquad C=2(0.5334)^2-0.3475^2=0.4482749$

3. 3

   ตรวจดิสคริมิแนนต์ก่อนแก้สมการ

   $\Delta=B^2-4AC=2.8315374-2.3907993=0.4407381>0$

   ดิสคริมิแนนต์ที่เป็นบวกหมายความว่าเส้นตรงตัดวงกลมสองจุดจริง ถ้าเป็นศูนย์แปลว่าสัมผัส และถ้าเป็นลบแปลว่าเส้นตรงพลาดวงกลมไปเลย การตรวจข้อนี้ก่อนทำให้รู้ว่าควรได้คำตอบกี่ค่า

4. 4

   แก้สมการกำลังสอง

   $x=\frac{1.6827173\pm\sqrt{0.4407381}}{2(4/3)}=\frac{1.6827173\pm 0.6638811}{2.6666667}$

   $x_1=0.879974,\qquad x_2=0.382064$

5. 5

   หาพิกัด $y$ กลับมาจากสมการเส้นตรง

   $y_1=0.5773503(0.879974)=0.508053,\qquad y_2=0.5773503(0.382064)=0.220585$

   จุดตัดจึงเป็น $(0.8800,\,0.5081)$ และ $(0.3821,\,0.2206)$

6. 6

   ตรวจว่าทั้งสองจุดอยู่บนวงกลมจริง แทนกลับได้ $(0.879974-0.5334)^2+(0.508053-0.5334)^2=0.120756=0.3475^2\;\checkmark$ และจุดที่สองก็เป็นจริงเช่นกันถึงทศนิยมสิบสองตำแหน่ง สังเกตว่าถ้าปัดจุดแรกเป็น $(0.8806,\,0.5084)$ จะทำให้มันหลุดจากวงกลมไปราว $4\times 10^{-4}$