ในสามเหลี่ยม ABC มี AB = AC และ D เป็นจุดกึ่งกลางของ BC จงพิสูจน์ว่า AD ตั้งฉากกับ BC

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนรายการสิ่งที่โจทย์ให้ และสิ่งที่คำว่า "ตั้งฉาก" จะเรียกร้อง โจทย์ให้ $AB=AC$ (สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีฐาน $BC$) และ $BD=DC$ (ตามบทนิยามของจุดกึ่งกลาง) การพิสูจน์ $AD\perp BC$ ต้องแสดงว่ามุม $\angle ADB$ หรือ $\angle ADC$ มุมใดมุมหนึ่งเท่ากับ $90^\circ$ แผนคือพิสูจน์ว่าสองมุมนั้น เท่ากัน ก่อน แล้วใช้ข้อเท็จจริงว่ามันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งบังคับให้แต่ละมุมเป็นมุมฉาก เส้นทางนี้สะอาดกว่าการพยายามคำนวณมุมออกมาตรง ๆ มาก

2. 2

   เปรียบเทียบสามเหลี่ยม $ABD$ กับ $ACD$ ส่วนของเส้นตรง $AD$ แบ่งสามเหลี่ยมเดิมออกเป็นสามเหลี่ยมย่อยสองรูป จับคู่ส่วนต่าง ๆ ของทั้งสองรูป

   $AB=AC\quad(\text{โจทย์กำหนด})$

   $BD=DC\quad(D\text{ เป็นจุดกึ่งกลางของ }BC)$

   $AD=AD\quad(\text{ด้านร่วม})$

   แต่ละคู่ตรงกัน จึงเป็นสามด้านต่อสามด้าน

3. 3

   สรุปความเท่ากันทุกประการด้วย ด.ด.ด. โดยเกณฑ์ด้าน-ด้าน-ด้าน

   $\triangle ABD\cong\triangle ACD$

   ด.ด.ด. เป็นทางเลือกที่ถูกต้องตรงนี้ เพราะข้อเท็จจริงที่โจทย์ให้มาทั้งสามข้อเป็นเรื่องความยาวทั้งหมด ไม่มีข้อมูลมุมเลย การใช้ ด.ม.ด. หรือ ม.ด.ม. จึงต้องอาศัยข้อสมมติเพิ่มที่ยังไม่ได้พิสูจน์

4. 4

   ถ่ายทอดความเท่ากันไปยังมุมที่จุด $D$ ส่วนที่สมนัยกันของสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการย่อมเท่ากัน และ $\angle ADB$ ในรูปแรกสมนัยกับ $\angle ADC$ ในรูปที่สอง

   $\angle ADB=\angle ADC$

5. 5

   ใช้เส้นตรง $BDC$ ตรึงค่าไว้ที่ $90^\circ$ เนื่องจาก $D$ อยู่ ระหว่าง $B$ กับ $C$ บนส่วนของเส้นตรง $BC$ มุมทั้งสองจึงเป็นคู่มุมประชิดบนเส้นตรงและรวมกันได้สองมุมฉาก

   $\angle ADB+\angle ADC=180^\circ$

   แทนความเท่ากันจากขั้นก่อนหน้าลงไป ได้ $2\angle ADB=180^\circ$ ดังนั้น

   $\angle ADB=\angle ADC=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad AD\perp BC$

   ต้องใช้ข้อเท็จจริงทั้งสองข้อ เพราะมุมเท่ากันอย่างเดียวไม่ได้ให้ $90^\circ$ และมุมที่รวมกันได้สองมุมฉากอย่างเดียวก็ไม่ได้เช่นกัน การรวมทั้งสองเข้าด้วยกันต่างหากที่ปิดการพิสูจน์

6. 6

   ตรวจด้วยการพิสูจน์เชิงพิกัด วางฐานให้สมมาตร: $B=(-b,0)$, $C=(b,0)$ ดังนั้น $D=(0,0)$ เป็นจุดกึ่งกลาง เงื่อนไข $AB=AC$ บังคับให้ $A$ อยู่ห่างจาก $B$ และ $C$ เท่ากัน นั่นคือ $A=(0,h)$ สำหรับ $h\neq0$ บางค่า จากนั้น $\vec{DA}=(0,h)$ และ $\vec{DC}=(b,0)$ ผลคูณเชิงสเกลาร์ของทั้งสองคือ

   $\vec{DA}\cdot\vec{DC}=0\cdot b+h\cdot0=0$

   ผลคูณเชิงสเกลาร์เป็นศูนย์หมายความว่าส่วนของเส้นตรงทั้งสองตั้งฉากกัน ยืนยันการพิสูจน์เชิงสังเคราะห์ ของแถมคือภาพเดียวกันนี้ยังแสดงว่า $AD$ เป็นทั้งเส้นมัธยฐาน เส้นสูง เส้นแบ่งครึ่งมุมจาก $A$ และเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $BC$ ไปพร้อมกัน ทั้งสี่อย่างทับกันพอดีเมื่อสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่วเท่านั้น