จงหาระยะทางระหว่างจุด A(−1, 1) กับ B(1, 6) และระยะทางระหว่าง C(5, 0) กับ D(4, 2) แล้วบอกว่าส่วนของเส้นตรงใดยาวกว่ากัน

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนสูตรระยะทางแล้วสังเกตว่าทำไมเครื่องหมายจึงไม่สำคัญ สำหรับจุด $(x_1,y_1)$ และ $(x_2,y_2)$

   $d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.$

   ผลต่างทั้งสองถูกยกกำลังสอง การลบสลับลำดับกันจึงให้ระยะทางเท่าเดิม ซึ่งเป็นเครื่องยืนยันที่ช่วยได้มากเมื่อมีพิกัดติดลบ

2. 2

   คำนวณผลต่างของ A กับ B

   $x_2-x_1=1-(-1)=2,\qquad y_2-y_1=6-1=5.$

   ลบด้วยจำนวนลบคือจุดเดียวที่ความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายมักแทรกเข้ามา $1-(-1)$ เท่ากับ $2$ ไม่ใช่ $0$

3. 3

   หา AB

   $AB=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\approx 5.385.$

   $29$ เป็นจำนวนเฉพาะ จึงลดรูปกรณฑ์ต่อไปไม่ได้

4. 4

   คำนวณผลต่างของ C กับ D แล้วหา CD

   $x_2-x_1=4-5=-1,\qquad y_2-y_1=2-0=2,$
   $CD=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx 2.236.$

   ผลต่างที่ติดลบหายไปเพราะถูกยกกำลังสอง ตามที่บอกไว้

5. 5

   เปรียบเทียบ $\sqrt{29}>\sqrt{5}$ เพราะ $29>5$ และรากที่สองเป็นฟังก์ชันเพิ่ม ดังนั้น $AB$ คือส่วนของเส้นตรงที่ยาวกว่า ยาวกว่าราว $2.4$ เท่า

6. 6

   ตรวจด้วยภาพแบบพีทาโกรัส $AB$ คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบยาว $2$ กับ $5$ ส่วน $CD$ คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่มีด้านประกอบยาว $1$ กับ $2$ สูตรระยะทางก็คือทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ใช้กับด้านประกอบเหล่านั้นนั่นเอง