ในสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ที่ AB ขนานกับ CD ด้านข้าง BC ยาว 7 ซม. และระยะจากจุด I ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของด้านข้าง AD ไปยังเส้น BC เท่ากับ 4 ซม. จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่าอะไรขาดหายไป แล้วเลิกตามหามัน โจทย์ไม่ได้ให้ทั้งความยาวฐานและความสูงของคางหมู และกู้กลับมาไม่ได้ด้วย เพราะมีคางหมูไม่รู้จบที่เข้ากับข้อมูลนี้ พื้นที่จึงต้องคำนวณได้จาก $BC$ กับระยะเพียงค่าเดียวนั้น ซึ่งชี้ไปที่การแบ่งพื้นที่ แทนที่จะใช้สูตรฐานคูณสูงตามปกติ

2. 2

   แบ่งคางหมูที่จุด $I$ ลากจาก $I$ ไปยัง $B$ และไปยัง $C$ จะตัดคางหมูออกเป็นสามเหลี่ยมสามรูปคือ $IAB$, $IBC$ และ $ICD$ พื้นที่ของทั้งสามรวมกันได้ทั้งรูป

   $S_{ABCD} = S_{IAB} + S_{IBC} + S_{ICD}$

3. 3

   ใช้จุดกึ่งกลางตรึงความสูงสองในสามรูป ให้ $h$ เป็นความสูงของคางหมู คือระยะระหว่างเส้นขนาน $AB$ กับ $CD$ เนื่องจาก $I$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AD$ โดย $A$ อยู่บนเส้น $AB$ และ $D$ อยู่บนเส้น $CD$ ระยะจากมันไปยัง แต่ละ เส้นขนานนั้นจึงเป็น $h/2$ ดังนั้น

   $S_{IAB} = \tfrac12 \cdot AB \cdot \tfrac{h}{2}, \qquad S_{ICD} = \tfrac12 \cdot CD \cdot \tfrac{h}{2}$

4. 4

   บวกกันแล้วเทียบกับคางหมู รวมสามเหลี่ยมสองรูปด้านนอก

   $S_{IAB} + S_{ICD} = \frac{(AB+CD)h}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{(AB+CD)h}{2} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$

   สามเหลี่ยมด้านนอกสองรูปกินพื้นที่ครึ่งหนึ่งของคางหมูพอดี สามเหลี่ยมตรงกลางจึงกินอีกครึ่งหนึ่ง

   $S_{IBC} = \tfrac12 S_{ABCD}$

5. 5

   คำนวณสามเหลี่ยมตรงกลางจากข้อมูลที่โจทย์ให้ สามเหลี่ยม $IBC$ มีฐาน $BC = 7$ และมีความสูงเท่ากับระยะจาก $I$ ไปยังเส้น $BC$ ซึ่งเท่ากับ $4$

   $S_{IBC} = \tfrac12 \cdot 7 \cdot 4 = 14\ \text{cm}^2$

6. 6

   คูณสองเพื่อให้ได้พื้นที่คางหมู เนื่องจาก $S_{IBC}$ เป็นครึ่งหนึ่งของคางหมู

   $S_{ABCD} = 2 \cdot 14 = 28\ \text{cm}^2$

   การตรวจเชิงตัวเลขยืนยันว่าคำตอบไม่ขึ้นกับฐาน การสร้างคางหมูที่มีฐานและความสูงต่างกันลิบลับ แต่ยังคง $BC = 7$ และ $\operatorname{dist}(I, BC) = 4$ ให้พื้นที่ $28\ \text{cm}^2$ เสมอ