ในสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC ที่มี AB = 4 ซม. จุด M บน AC และจุด N บน BC สอดคล้องกับ CM = BN โดยไม่มีจุดใดทับจุดยอด เส้น AN กับ BM ตัดกันที่จุด G (ก) ลาก CH ตั้งฉากกับ AB ที่จุด H แล้วหา CH (ข) พิสูจน์ว่า AN = BM และหามุม AGM

Step-by-step solution

1. 1

   (ก) ใช้ข้อเท็จจริงว่าในสามเหลี่ยมด้านเท่า เส้นสูงเป็นเส้นมัธยฐานด้วย เนื่องจาก $CA=CB$ จุด $H$ ซึ่งเป็นเท้าของเส้นสูงจาก $C$ จึงเป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ ดังนั้น

   $AH=HB=\frac{AB}{2}=2\ \text{ซม.}$

   ข้อนี้คือสิ่งที่ทำให้เราเปลี่ยนสามเหลี่ยมหนึ่งรูปให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่รู้ด้านสองด้านได้

2. 2

   (ก) ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในสามเหลี่ยมมุมฉาก $ACH$

   $CH^{2}=AC^{2}-AH^{2}=4^{2}-2^{2}=16-4=12$

   $CH=\sqrt{12}=2\sqrt3\approx3.46\ \text{ซม.}$

   นี่คือผลลัพธ์คุ้นเคย $\frac{\sqrt3}{2}\times\text{ด้าน}$ ของสามเหลี่ยมด้านเท่า ในที่นี้คือ $\frac{\sqrt3}{2}\times 4$

3. 3

   (ข) เลือกคู่สามเหลี่ยมที่ถูกต้องมาเทียบกัน คู่ที่ดูน่าใช้อย่าง $\triangle ABN$ กับ $\triangle CAM$ นั้นใช้ไม่ได้ เพราะ $AM=4-CM$ โดยทั่วไปไม่เท่ากับ $BN$ ให้เทียบ $\triangle ABN$ กับ $\triangle BCM$ แทน

   $AB=BC=4\ \text{(ด้านเท่า)},\qquad \angle ABN=\angle BCM=60^\circ,\qquad BN=CM\ \text{(โจทย์กำหนด)}$

   มุมที่ใช้อยู่ระหว่างด้านสองด้านที่จับคู่กันได้ในแต่ละสามเหลี่ยมพอดี จึงเป็นการเข้าคู่แบบ ด.ม.ด. ของจริง

4. 4

   (ข) สรุปว่าเส้นเชเวียนสองเส้นยาวเท่ากัน โดย ด.ม.ด. ได้ $\triangle ABN\cong\triangle BCM$ และส่วนที่สมนัยกันให้

   $AN=BM$

   พร้อมกับความเท่ากันของมุมที่เราจะใช้ในขั้นถัดไป คือ $\angle BAN=\angle CBM$

5. 5

   (ข) ไล่มุมที่จุดตัด $G$ เนื่องจาก $M$ อยู่บน $AC$ รังสี $BM$ จึงแบ่งมุม $60^\circ$ ที่จุด $B$ ออกเป็นสองส่วน

   $\angle ABM=60^\circ-\angle CBM$

   เมื่อบวกกับมุมที่เท่ากันจากความเท่ากันทุกประการ

   $\angle BAN+\angle ABM=\angle CBM+\left(60^\circ-\angle CBM\right)=60^\circ$

   ในสามเหลี่ยม $ABG$ มุมที่จุด $A$ และ $B$ ก็คือสองมุมนี้พอดี ดังนั้น

   $\angle AGB=180^\circ-60^\circ=120^\circ$

6. 6

   (ข) แปลงไปเป็นมุมที่โจทย์ถาม จุด $G$ อยู่บนส่วนของเส้นตรง $BM$ ดังนั้น $\angle AGM$ กับ $\angle AGB$ เป็นมุมประชิดที่รวมกันได้สองมุมฉาก

   $\angle AGM=180^\circ-120^\circ=60^\circ$

   สังเกตว่าคำตอบไม่ขึ้นกับว่า $M$ และ $N$ อยู่ตำแหน่งใด การเลื่อนจุดทั้งสองไปตามด้าน (โดยคง $CM=BN$) จะหมุนเส้นเชเวียนคู่นี้ไปพร้อมกัน และเหลือมุม $60^\circ$ ระหว่างกันเสมอ ตรวจด้วยพิกัด $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(2,2\sqrt3)$ และ $CM=BN=2$ ก็ได้ $\angle AGM=60^\circ$ ตรงกัน