ติดตรงนี้? แก้มันด้วย AI
Geometry · real student question

ให้มุม xAy เป็นมุมแหลม B เป็นจุดบนรังสี Ax และ Bm เป็นรังสีภายในมุม xAy โดย Bm ขนานกับ Ay ให้ Au และ Bv แบ่งครึ่งมุม xAy และมุม xBm (ก) จงพิสูจน์ว่า Au ขนานกับ Bv (ข) ถ้า Bz แบ่งครึ่งมุม ABm จงพิสูจน์ว่ามุม vBz = 90 องศา (ค) จงสรุปว่า Bz ตั้งฉากกับ Au

Question

ให้ ∠xAy\angle xAy เป็นมุมแหลม เลือกจุด BB บนรังสี AxAx และภายใน ∠xAy\angle xAy ลากรังสี Bm∥AyBm\parallel Ay ให้ AuAu และ BvBv เป็นเส้นแบ่งครึ่งของ ∠xAy\angle xAy และ ∠xBm\angle xBm ตามลำดับ

(ก) จงพิสูจน์ว่า Au∥BvAu\parallel Bv
(ข) ให้ BzBz แบ่งครึ่ง ∠ABm\angle ABm จงพิสูจน์ว่า ∠vBz=90∘\angle vBz=90^{\circ}
(ค) จงสรุปว่า Bz⊥AuBz\perp Au

Step-by-step solution

  1. (ก) ถ่ายทอดมุมผ่านรังสีขนาน เนื่องจาก Bm∥AyBm\parallel Ay และ AxAx เป็นเส้นตัดที่ตัดทั้งสองที่ AA และ BB มุม ∠xBm\angle xBm กับ ∠xAy\angle xAy จึงเป็น มุมสมนัย และเท่ากัน

    ∠xBm=∠xAy\angle xBm=\angle xAy

  2. แบ่งครึ่งมุมที่เท่ากันทั้งสอง เส้นแบ่งครึ่งมุมตัดมุมที่เท่ากันออกเป็นครึ่งที่เท่ากัน ดังนั้น

    ∠xBv=12∠xBm=12∠xAy=∠xAu\angle xBv=\tfrac12\angle xBm=\tfrac12\angle xAy=\angle xAu

    มุมทั้งสองนี้เป็นมุมสมนัยอีกครั้งสำหรับเส้นตัด AxAx ที่ตัด AuAu กับ BvBv มุมสมนัยที่เท่ากันบังคับให้เส้นทั้งสองขนานกัน

    Au∥BvAu\parallel Bv

  3. (ข) ระบุคู่มุมประกอบสองมุมฉากที่ B จุด AA, BB และทิศ xx อยู่บนเส้นตรงเดียวกันโดย BB อยู่ระหว่าง AA กับทิศของ xx รังสี BABA กับ BxBx จึงเป็นรังสีตรงข้ามกัน ดังนั้น ∠ABm\angle ABm กับ ∠xBm\angle xBm เป็นคู่มุมประชิดบนเส้นตรง

    ∠ABm+∠xBm=180∘\angle ABm+\angle xBm=180^{\circ}

  4. แบ่งครึ่งคู่มุมบนเส้นตรง BzBz แบ่งครึ่ง ∠ABm\angle ABm และ BvBv แบ่งครึ่ง ∠xBm\angle xBm อีกทั้งมุมที่ถูกแบ่งทั้งสองอยู่ประชิดกันตามแนวเส้นตรง ดังนั้น

    ∠vBz=12∠xBm+12∠ABm=12(∠xBm+∠ABm)=12(180∘)=90∘\angle vBz=\tfrac12\angle xBm+\tfrac12\angle ABm=\tfrac12\left(\angle xBm+\angle ABm\right)=\tfrac12(180^{\circ})=90^{\circ}

    ∠vBz=90∘\boxed{\angle vBz=90^{\circ}}

    นี่คือข้อเท็จจริงทั่วไปที่ว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมประชิดสองมุมที่รวมกันได้สองมุมฉากย่อมตั้งฉากกันเสมอ

  5. (ค) รวมผลลัพธ์ทั้งสองเข้าด้วยกัน จากข้อ (ข) ได้ Bz⊥BvBz\perp Bv จากข้อ (ก) ได้ Bv∥AuBv\parallel Au เส้นที่ตั้งฉากกับเส้นหนึ่งในสองเส้นที่ขนานกันย่อมตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย ดังนั้น

    Bz⊥AuBz\perp Au

    Au∥Bv,∠vBz=90∘,Bz⊥Au\boxed{Au\parallel Bv,\quad \angle vBz=90^{\circ},\quad Bz\perp Au}

  6. ตรวจด้วยมุมที่เป็นตัวเลขจริง ให้ ∠xAy=60∘\angle xAy=60^{\circ} จะได้ ∠xBm=60∘\angle xBm=60^{\circ} ดังนั้น ∠xBv=30∘=∠xAu\angle xBv=30^{\circ}=\angle xAu ✓ (มุมสมนัยเท่ากัน) อีกทั้ง ∠ABm=120∘\angle ABm=120^{\circ} จึงได้ ∠ABz=60∘\angle ABz=60^{\circ} และ ∠vBz=30∘+60∘=90∘\angle vBz=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ} ✓ สังเกตว่าข้อสรุปในข้อ (ค) คือ Bz⊥AuBz\perp Au ไม่ใช่ Bz⊥AyBz\perp Ay เพราะทั้งสองเป็นคนละเส้น เว้นแต่ AuAu จะบังเอิญทับกับ AyAy

Answer

Au∥Bv; ∠vBz=90∘; ดังนั้น Bz⊥AuAu\parallel Bv;\ \angle vBz=90^{\circ};\ \text{ดังนั้น }Bz\perp Au

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions