Trigonometry
ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพ
Real trigonometry questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
คำตอบคือ x = 5π/4 + 2πn และ x = 7π/4 + 2πn ค่าไซน์ที่เป็นลบทำให้มุมอยู่ในจตุภาคที่สามและที่สี่ ซึ่งทั้งคู่มีมุมอ้างอิงเป็น π/4
มุมอ้างอิงคือ π/3 และไซน์เป็นบวกในจตุภาคที่ 1 กับที่ 2 คำตอบจึงเป็น x = π/3 + 2πn และ x = 2π/3 + 2πn สำหรับทุกจำนวนเต็ม n
มุมคือประมาณ 143.13° และ 216.87° (2.498 และ 3.785 เรเดียน) ใช้ arccos(0.8) เป็นมุมอ้างอิง แล้ววางไว้ในจตุภาคที่ 2 และที่ 3 ซึ่งโคไซน์เป็นลบ
มุมคือประมาณ 9.49 องศา, 85.26 องศา และ 85.26 องศา เมื่อมีด้านทั้งสามและไม่มีมุมเลย กฎของโคไซน์เป็นทางเดียวที่เริ่มได้
ส่วนโค้งยาว 5π/2 = 7.854 ซม. และพื้นที่เท่ากับ 45π/4 = 35.343 ซม.² เปลี่ยน 50 องศาเป็น 5π/18 เรเดียนก่อน แล้วใช้ s = rθ และ A = (1/2)r²θ
ส่วนโค้งยาว 14π/3 = 14.661 หลา และพื้นที่เท่ากับ 28π = 87.965 ตารางหลา แปลง 70 องศาเป็น 7π/18 เรเดียนก่อนใช้ s = rθ และ A = (1/2)r²θ
ทั้งสองค่าออกมาเป็น 2π/3 = 2.094 เมื่อ r = 2 ตัวประกอบ (1/2)r² จะเท่ากับ r ความยาวส่วนโค้งเป็นฟุตกับพื้นที่เซกเตอร์เป็นตารางฟุตจึงมีตัวเลขเดียวกัน ซึ่งเป็นความบังเอิญของ r = 2
ส่วนโค้งยาว 2π/3 = 2.094 ม. และพื้นที่เท่ากับ 4π/3 = 4.189 ตารางเมตร การลดมุมลงครึ่งหนึ่งพร้อมเพิ่มรัศมีเป็นสองเท่าทำให้ความยาวส่วนโค้งคงเดิม แต่พื้นที่เซกเตอร์เพิ่มเป็นสองเท่า
แปลง 120 องศาเป็น 2π/3 เรเดียน แล้ว s = rθ = 3 × 2π/3 = 2π = 6.283 ม. ซึ่งเป็นหนึ่งในสามของเส้นรอบวงพอดี
ผลบวกเป็น π/2 เมื่อ x > 0 และเป็น −π/2 เมื่อ x < 0 ส่วนที่ x = 0 ไม่นิยาม มุมทั้งสองมีเครื่องหมายตาม x ค่าจึงเป็น (π/2) คูณ sgn(x) และไม่มีทางเป็น 0
ฟังก์ชันคู่: −7x² + 1, cos(−x) และ tan x / x ฟังก์ชันคี่: sin x / cos x และ csc x ไม่เป็นทั้งสองอย่าง: 4x³ − 3x² + 5 ซึ่งมีทั้งกำลังคู่และกำลังคี่ปนกันจึงไม่มีสมมาตรใด ๆ
ความสูงคือ 1.75√3 = 3.03 กม. ซึ่งต่ำกว่าค่าเปรียบเทียบ 4.5 กม. ใช้วิธีเดียวกับกรณี 600 กม./ชม. แต่เวลาที่สั้นกว่าทำให้ข้อสรุปกลับด้าน
เครื่องบิน Q ไต่ขึ้นไปได้ 3.71231 กม. ซึ่งต่ำกว่า 5 กม. ของเครื่องบิน P คำตอบจึงเป็น "ต่ำกว่า" อัตราเร็วในแนวดิ่งคือ 450 sin 45° = 318.198 กม./ชม. และ 0.7 นาทีเท่ากับ 0.0116667 ชั่วโมง
เครื่องบิน A ไต่ขึ้นไปได้ 5 กม. ซึ่งต่ำกว่า 7 กม. ของเครื่องบิน B คำตอบจึงเป็น "ต่ำกว่า" อัตราเร็วในแนวดิ่งคือ 500 sin 30° = 250 กม./ชม. และ 1.2 นาทีเท่ากับ 0.02 ชั่วโมง
ความสูงคือ 9√3 = 15.59 กม. ซึ่งสูงกว่าค่าเปรียบเทียบ 10 กม. นับเฉพาะองค์ประกอบในแนวดิ่ง v sin 60° เท่านั้น และต้องแปลง 1.8 นาทีเป็น 0.03 ชั่วโมงก่อน
เครื่องบิน E ไต่ขึ้นไปได้ 7.7 กม. ซึ่งต่ำกว่า 8 กม. ของเครื่องบิน F คำตอบจึงเป็น "ต่ำกว่า" อัตราเร็วในแนวดิ่งคือ 440 sin 30° = 220 กม./ชม. และ 2.1 นาทีเท่ากับ 0.035 ชั่วโมง
สองเมืองอยู่ห่างกันราว 695.8 ไมล์ ลบละติจูดกันได้มุมที่จุดศูนย์กลาง 10 องศา 4 ลิปดา แปลงเป็นเรเดียน แล้วใช้ s = rθ
sin A = 3/4 กลไกสำคัญคือ cos B = −cos(A + C) ซึ่งยุบตัวเศษให้เหลือ sin A sin C และเปลี่ยนเงื่อนไขให้เป็น tan C = √3 ทำให้ C = 60 องศา
ไต่ได้ 5 กม. จึงยังต่ำกว่าเครื่องบินที่บินระดับ 7 กม. คูณอัตราเร็ว 500 กม./ชม. ด้วย sin 30 เพื่อหาอัตราไต่ในแนวดิ่ง แล้วคูณด้วยเวลาในหน่วยชั่วโมง
คำตอบคือจริง โคไซน์คือพิกัด x บนวงกลมหนึ่งหน่วย และ 180 องศาไปตกที่ (−1, 0) ดังนั้น cos(180 องศา) = −1 พอดี ไม่ใช่ค่าประมาณ
จริง เนื่องจาก 7π/6 = π + π/6 อยู่ในจตุภาคที่สาม จึงได้ sin(7π/6) = −1/2 และโคเซแคนต์เป็นส่วนกลับของไซน์ ดังนั้น csc(7π/6) = 1/(−1/2) = −2 พอดี
sin x / x เป็นฟังก์ชันคู่ ส่วน cos x / x เป็นฟังก์ชันคี่ การหารฟังก์ชันคี่ด้วยฟังก์ชันคี่อย่าง x ให้ผลเป็นฟังก์ชันคู่ ขณะที่การหารฟังก์ชันคู่ด้วย x ให้ผลเป็นฟังก์ชันคี่
คำตอบคือจริง เนื่องจาก tan = sin/cos และ sin(π) = 0 ขณะที่ cos(π) = −1 ผลหารจึงเป็น 0/(−1) = 0 ตัวเศษที่เป็นศูนย์กับตัวส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ให้ผลเป็นศูนย์เท่านั้น
บันไดที่พาดถึงกำแพงสูง 24 ฟุต โดยฐานห่างจากกำแพง 7 ฟุต ยาว 25 ฟุต และทำมุมกับพื้นราว 73.7° พีทาโกรัสให้ความยาว ส่วน arctan ให้มุม
มีสามเหลี่ยมที่เข้าเงื่อนไขสองรูป คือ a = 75√3 + 15√39 = 223.58 หรือ a = 75√3 − 15√39 = 36.23 ด้านที่ไม่ทราบค่าปรากฏทั้งแบบยกกำลังสองและแบบเชิงเส้น จึงกลายเป็นสมการกำลังสอง
A ประมาณ 69.6 องศา และ x ประมาณ 24.03 จาก sin A = 23 sin32° / 13 = 0.9375 ข้อความที่ว่า A ดูเป็นมุมแหลมช่วยตัดมุมป้านคู่แฝด 110.4 องศาออกไป
มุมอ้างอิงคือ 30°, 45°, π/3 และ π/4 ให้ระบุจตุภาคก่อน แล้ววัดย้อนกลับไปหาครึ่งแกน x ที่ใกล้ที่สุด กฎสั้น ๆ หนึ่งข้อต่อหนึ่งจตุภาค
คำตอบคือ 7π/24, 23π/24, 31π/24 และ 47π/24 การแทน t แทนอาร์กิวเมนต์ทั้งก้อนจะยืดช่วงเป็น [π/4, 17π/4) ซึ่งบรรจุคำตอบไว้สี่ค่า
คำตอบคือ x = π/6 + 2πk หรือ x = 5π/6 + 2πk เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ไซน์เท่ากับ 1/2 สองครั้งต่อหนึ่งรอบ ดังนั้น π/6 อย่างเดียวจึงเป็นเพียงครึ่งเดียวของเซตคำตอบ
มีคำตอบสองตระกูล: y = π สำหรับทุกค่า x และ sin(x + y/2) = 2 sin(y/2) ซึ่งต้องการ |sin(y/2)| ≤ 1/2 กิ่ง y = π หายง่ายมากถ้าเผลอตัด cos(y/2) ทิ้ง
คำตอบคือ x = 6 + 2arcsin(2/3) + 4πk และ x = 6 + 2π − 2arcsin(2/3) + 4πk แยกไซน์ออกมาก่อน แล้วใช้ทั้งสองกิ่งของคำตอบทั่วไปของไซน์
คำตอบทั่วไปคือ x = −π/6 + πk เมื่อแยกออกมาได้ tan x = −√3/3 ซึ่งเป็นค่าแทนเจนต์ที่มีมุมอ้างอิง π/6 และแทนเจนต์มีคาบ π
คำตอบ: x = ±π/6 + kπ การถอดรากที่สองให้ cos x = ±√3/2 ซึ่งมีมุมฐานสี่มุมในหนึ่งรอบ และรวมกันได้เป็นสองตระกูลที่ห่างกัน π
x = nπ ± arcsin(√((√145 − 1)/12)) ประมาณ nπ ± 1.2843 เรเดียน มีเพียงรากเดียวของ 6u² + u − 6 = 0 ที่อยู่ในช่วงที่ยอมรับได้ 0 ≤ u ≤ 1
คำตอบคือ x ≈ 440.67 การยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วใช้ sec²θ − 1 = tan²θ ลดสมการเหลือ x·tan 20° = √25725.16 ดังนั้น x = √25725.16 / tan 20°
คำตอบคือ x ≈ 284.44 ค่าคงตัวใต้รากคือ 26.8² + 100² = 10718.24 และการหารรากที่สองของมันด้วย tan 20° = 0.36397 ให้ x โดยตรง
คำตอบคือ x ≈ 345.26 ไม่ใช่ 345.1 หลังยกกำลังสองแล้ว sec²20° − 1 = tan²20° ดังนั้น x = √15791.21 / tan 20° ซึ่งคือ 125.6631 หารด้วย 0.3639702
คำตอบคือ a = 6.32857 องศา (และ 172.52555 องศา) หารด้วยตัวประกอบร่วม 89.474 แล้วใช้รูปมุมช่วย R sin(a + φ) โดยมี R = √(1.0001)
คำตอบคือ sin x = 3/4 และ sin x = −1 ใช้ cos 2x = 1 − 2 sin²x เปลี่ยนสมการให้เป็น 4t² + t − 3 = 0 แล้วแก้สมการไซน์ทีละตัว
เมื่อ alpha = 36 องศา gamma = 50 องศา และ b = 78.2 พื้นที่ราว 1380.1 ใช้ K = b² sin(alpha) sin(gamma) / (2 sin(beta)) หลังหามุมที่สามได้แล้ว