จงแก้สมการ 6 sin กำลังสี่ของ x บวก sin กำลังสองของ x ลบ 6 เท่ากับ 0

Step-by-step solution

1. 1

   แทนค่าเพื่อเผยให้เห็นสมการกำลังสอง มีแต่กำลังคู่ของ $\sin x$ ปรากฏอยู่ จึงให้ $u=\sin^2x$

   $6u^2+u-6=0$

   การแทนค่ายังบันทึกเงื่อนไขบังคับที่ตัวสมการกำลังสองเองไม่รู้ไว้ด้วย นั่นคือ $u=\sin^2x$ บังคับให้ $0\le u\le 1$

2. 2

   แก้สมการกำลังสอง เมื่อ $\Delta=1^2-4(6)(-6)=1+144=145$ (ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์)

   $u=\frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$

3. 3

   ตัดรากที่ใช้ไม่ได้ทิ้ง เนื่องจาก $\sqrt{145}\approx 12.0416$

   $u_1=\frac{-1+\sqrt{145}}{12}\approx 0.9201329,\qquad u_2=\frac{-1-\sqrt{145}}{12}\approx -1.0868$

   มีเพียง $u_1$ ที่สอดคล้องกับ $0\le u\le 1$ ส่วน $u_2$ ติดลบ และกำลังสองไม่มีวันติดลบได้ จึงถูกตัดทิ้ง (ถ้า $u_1$ เกิน $1$ สมการนี้จะไม่มีคำตอบเลย)

4. 4

   ถอดรากที่สองเพื่อหา $\sin x$

   $\sin x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{12}}\approx \pm 0.9592356$

   ต้องเก็บไว้ทั้งสองเครื่องหมาย เพราะ $\sin^2 x$ ทำข้อมูลเรื่องเครื่องหมายหายไป

5. 5

   เขียนผลเฉลยทั่วไป ทางเลือกเครื่องหมายทั้งสองรวมกันเป็นตระกูลคำตอบมาตรฐานของสมการไซน์

   $x=n\pi\pm\arcsin\!\left(\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{12}}\right),\qquad n\in\mathbb{Z}$

   เชิงตัวเลข $\arcsin(0.9592356)\approx 1.2843$ เรเดียน $\approx 73.58^{\circ}$ ดังนั้นคำตอบคือ $x\approx n\pi\pm 1.2843$

6. 6

   ตรวจคำตอบ เมื่อ $u=0.9201329$ ได้ $6u^2+u-6=6(0.8466445)+0.9201329-6=5.0798671+0.9201329-6=0$ ✓ และเมื่อใช้ $x=1.2843$ จะได้ $\sin x=0.9592356$ ดังนั้น $\sin^2x=u$ ตามที่ต้องการ