แก้สมการ 2sin(x) − 1 = 0 หาค่า x ที่เป็นจำนวนจริงทุกค่า

Step-by-step solution

1. 1

   แยกไซน์ออกมา บวก $1$ แล้วหารด้วย $2$:

   $2\sin x=1\qquad\Longrightarrow\qquad \sin x=\frac{1}{2}$

   เนื่องจาก $\tfrac12$ อยู่ใน $[-1,1]$ สมการจึงมีคำตอบ

2. 2

   หามุมในจตุภาคที่หนึ่ง ค่า $\tfrac12$ เป็นค่าพิเศษ สามเหลี่ยม $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ ให้ $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$ ดังนั้น $x=\tfrac{\pi}{6}$ เป็นคำตอบหนึ่ง โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

3. 3

   หาคำตอบที่สองในรอบเดียวกัน ไซน์เป็นบวกทั้งในจตุภาคที่หนึ่งและที่สอง และ $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ ดังนั้นภาพสะท้อน

   $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

   ก็ใช้ได้เช่นกัน การลืมกิ่งนี้คือความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของสมการไซน์

4. 4

   ขยายด้วยคาบ $\sin$ ซ้ำทุก ๆ $2\pi$ คำตอบทุกค่าจึงเป็นหนึ่งในสองมุมฐานที่ถูกเลื่อนไปเป็นจำนวนรอบเต็ม:

   $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\qquad\text{หรือ}\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

5. 5

   ดูว่าทำไมสองตระกูลนี้จึงไม่รวมเป็นตระกูลเดียว ระยะจาก $\tfrac{\pi}{6}$ ถึง $\tfrac{5\pi}{6}$ คือ $\tfrac{2\pi}{3}$ ซึ่งไม่ใช่พหุคูณของ $2\pi$ ไม่มีตระกูลใดครอบคลุมอีกตระกูลหนึ่ง จึงจำเป็นต้องมีทั้งคู่จริง ๆ

6. 6

   ตรวจด้วยการแทนค่า $2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-1=2(0.5)-1=0$ ✓ และ $2\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)-1=2(0.5)-1=0$ ✓ เมื่อทดสอบ $k=-2$ และ $k=3$ กับทั้งสองตระกูลก็ได้ $0$ ในระดับความแม่นยำของเครื่องเช่นกัน ✓