จงแก้สมการ 10.752 = 9.13 × 9.8 × 0.01 × cos(a) + 9.13 × 9.8 × sin(a) หามุม a

Step-by-step solution

1. 1

   ดึงค่าคงตัวที่ซ้ำกันออกมา ทั้งสองพจน์มี $9.13\cdot9.8 = 89.474$ ร่วมกัน การหารสมการทั้งก้อนด้วยค่านี้ให้ $0.01\cos\alpha_m + \sin\alpha_m = \frac{10.752}{89.474} = 0.12016899.$ นี่คือรูปมาตรฐาน $a\cos\alpha+b\sin\alpha=c$ โดยมี $a=0.01$ และ $b=1$

2. 2

   นำมุมช่วยเข้ามา เขียน $\sin\alpha_m+0.01\cos\alpha_m = R\sin(\alpha_m+\varphi)$ โดยที่ $R = \sqrt{1^2+0.01^2} = \sqrt{1.0001} = 1.00005000,\qquad \tan\varphi = \frac{0.01}{1},\ \varphi = \arctan 0.01 = 0.5729387^\circ.$ การรวมคลื่นสองลูกให้เป็นลูกเดียวคือสิ่งที่ทำให้สมการนี้แก้ได้ในรูปปิด

3. 3

   ลดให้เหลือสมการไซน์เดียว $\sin(\alpha_m+\varphi) = \frac{0.12016899}{1.00005000} = 0.12016298.$

4. 4

   เก็บทั้งสองกิ่งของอาร์กไซน์ ในช่วง $[0^\circ,360^\circ)$ สมการไซน์มีคำตอบสองค่า $\alpha_m+\varphi = 6.9015087^\circ \quad\text{หรือ}\quad 180^\circ-6.9015087^\circ = 173.0984913^\circ.$ ตรงนี้ต้องเก็บหลักไว้ให้พอ เพราะทั้งมุมช่วยและอาร์กไซน์ต่างถูกนำไปลบกัน ความคลาดเคลื่อนของค่าใดค่าหนึ่งจะทะลุเข้าสู่ $\alpha_m$ โดยตรง

5. 5

   ลบมุมช่วยออก $\alpha_m = 6.9015087^\circ - 0.5729387^\circ = 6.32857^\circ \quad\text{หรือ}\quad \alpha_m = 173.0984913^\circ - 0.5729387^\circ = 172.52555^\circ.$ ในหน่วยเรเดียนคือ $0.110454$ และ $3.011139$

6. 6

   ตรวจรากทั้งสองในสมการเดิม ที่ $\alpha_m = 6.32857^\circ$ ได้ $0.89474\cos + 89.474\sin = 0.88929+9.86271 = 10.75200$ ที่ $\alpha_m = 172.52555^\circ$ ได้ $0.89474(-0.9915030)+89.474(0.1300841) = -0.88714+11.63914 = 10.75200$ ผ่านพอดีทั้งคู่ ค่าแรกคือมุมเล็กที่มักเป็นคำตอบทางกายภาพที่ต้องการ