รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาว 65, 65 และ 10.75 โดยไม่ทราบมุมใดเลย จงหามุมทั้งสาม

Step-by-step solution

1. 1

   เลือกเครื่องมือให้ถูกสำหรับกรณี ด.ด.ด. เมื่อมีด้านทั้งสามและไม่มีมุมเลย กฎของไซน์ใช้ไม่ได้ เพราะมันต้องการคู่ด้าน-มุมที่จับคู่กันแล้วอย่างน้อยหนึ่งคู่เสมอ กฎของโคไซน์จึงเป็นจุดตั้งต้นเดียว

   $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\;\Longrightarrow\;\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

2. 2

   ใช้ประโยชน์จากความสมมาตรของรูปหน้าจั่ว ด้านสองด้านเท่ากัน ($65=65$) มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านทั้งสองจึงเท่ากัน นั่นแปลว่าการคำนวณด้วยกฎของโคไซน์เพียงครั้งเดียว สำหรับมุม $C$ ที่อยู่ตรงข้ามด้านที่แปลกออกไปคือ $10.75$ ก็กำหนดทุกอย่างได้ครบ

3. 3

   แทนตัวเลขลงไป

   $\cos C=\frac{65^2+65^2-10.75^2}{2(65)(65)}=\frac{4225+4225-115.5625}{8450}=\frac{8334.4375}{8450}=0.98632396$

4. 4

   หาโคไซน์ผกผัน

   $C=\cos^{-1}(0.98632396)=9.4867^{\circ}$

   การที่โคไซน์เข้าใกล้ $1$ มากขนาดนี้คือลายเซ็นเชิงเลขคณิตของรูปสามเหลี่ยมที่ผอมเรียวมาก ซึ่งก็คือสิ่งที่ด้าน $65,65,10.75$ บรรยายไว้พอดี

5. 5

   หามุมที่ฐานทั้งสองจากผลรวมมุม

   $A=B=\frac{180^{\circ}-9.4867^{\circ}}{2}=85.2567^{\circ}$

6. 6

   ตรวจอย่างเป็นอิสระด้วยพื้นที่ สูตรของเฮรอนโดยมี $s=70.375$ ให้พื้นที่ $=348.178$ ซึ่งเท่ากับพื้นที่จาก $\tfrac12 ab\sin C=\tfrac12(65)(65)\sin(9.4867^{\circ})=348.178$ ✓ และ $9.4867+85.2567+85.2567=180.0001^{\circ}$ ตามความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษ