จงหาจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับ sin x = √3/2

Step-by-step solution

1. 1

   หามุมอ้างอิง มุมอ้างอิงคือมุมแหลมที่ไซน์ของมันมีขนาดเท่ากัน

   $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\quad\Longrightarrow\quad \text{มุมอ้างอิง}=\frac{\pi}{3}$

2. 2

   ตัดสินว่าจตุภาคใดใช้ได้ ค่า $\tfrac{\sqrt3}{2}$ เป็น บวก และ $\sin x>0$ ในจตุภาคที่ 1 กับที่ 2 จึงมีคำตอบพอดีสองค่าในหนึ่งคาบ $[0,2\pi)$ สมการไซน์ที่มีค่าอยู่ระหว่าง $-1$ กับ $1$ อย่างเข้มจะมีคำตอบสองค่าเสมอ

3. 3

   เขียนคำตอบฐานทั้งสอง จตุภาคที่ 1 ให้มุมอ้างอิงเอง ส่วนจตุภาคที่ 2 ให้ $\pi$ ลบด้วยมุมอ้างอิง

   $x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$

4. 4

   ขยายด้วยคาบ ไซน์มีคาบ $2\pi$ คำตอบทุกค่าจึงได้จากการบวกจำนวนเท่าที่เป็นจำนวนเต็มของ $2\pi$

   $\boxed{\left\{x\ \middle|\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\ \text{ หรือ }\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}}$

5. 5

   ตรวจทั้งสองตระกูลและสังเกตรูปแบบกะทัดรัด $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓ และ $\sin\tfrac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓ ทั้งสองตระกูลเขียนรวมเป็นนิพจน์เดียวได้ว่า $x=(-1)^{n}\tfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$ ซึ่งสร้างเซตเดียวกัน แต่ถ้าบวก $\pi n$ แทน $2\pi n$ เข้ากับ $\tfrac{\pi}{3}$ เพียงตัวเดียว จะรวม $x=\tfrac{4\pi}{3}$ เข้ามาอย่างผิด ๆ เพราะที่นั่น $\sin x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$