จงจัดรูป arctan ของ x บวก arctan ของ 1 ส่วน x

Step-by-step solution

1. 1

   กำหนดโดเมนให้ชัดก่อน พจน์ $\frac1x$ ต้องการ $x\neq 0$ นิพจน์นี้จึงนิยามบน $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ ซึ่งเป็นสองชิ้นที่แยกจากกัน อันเป็นสัญญาณว่าคำตอบอาจต่างกันในแต่ละชิ้น

2. 2

   กรณี $x>0$: ใช้มุมที่ประกอบกันเป็นมุมฉาก ให้ $\theta=\arctan x$ ดังนั้น $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ และ $\tan\theta=x$ จากนั้น

   $\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot\theta=\frac1x$

   และ $\frac{\pi}{2}-\theta$ ก็อยู่ใน $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ เช่นกัน ซึ่ง อยู่ ภายในพิสัยหลักของ $\arctan$ ดังนั้น $\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}-\theta$ และ

   $\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}$

3. 3

   กรณี $x<0$: ใช้ความเป็นฟังก์ชันคี่แทนการทำงานซ้ำ ทั้ง $x<0$ และ $\frac1x<0$ อาร์กแทนเจนต์ทั้งสองจึงเป็นลบ และผลบวกของมันเป็น $+\frac{\pi}{2}$ ไม่ได้ ให้ใช้ผลลัพธ์ก่อนหน้ากับ $-x>0$ พร้อมกับ $\arctan(-t)=-\arctan t$

   $\arctan(-x)+\arctan\left(-\tfrac1x\right)=\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ -\left(\arctan x+\arctan\tfrac1x\right)=\frac{\pi}{2}$

   ผลบวกจึงเท่ากับ $-\frac{\pi}{2}$

4. 4

   ดูว่าทำไมสูตรผลบวกแทนเจนต์เพียงอย่างเดียวจึงไม่พอ เมื่อ $A=\arctan x$ และ $B=\arctan\frac1x$

   $\tan(A+B)=\frac{x+\frac1x}{1-x\cdot\frac1x}=\frac{x+\frac1x}{0}$

   ซึ่งไม่นิยาม มันบอกได้เพียงว่า $A+B$ เป็น จำนวนเท่าที่เป็นคี่ ของ $\frac{\pi}{2}$ ส่วนการตัดสินว่าเป็นตัวใดต้องอาศัยการพิจารณาพิสัยข้างต้น

5. 5

   รวมเป็นสูตรเดียว

   $\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(x),\qquad x\neq 0$

   ฟังก์ชันนี้คงที่บนครึ่งเส้นแต่ละข้าง และกระโดดข้าม $x=0$ ด้วยขนาด $\pi$ มันไม่ได้เท่ากับ $\frac{\pi}{2}$ เสมอไปอย่างเด็ดขาด

6. 6

   ตรวจด้วยตัวเลข ที่ $x=2$: $\arctan 2=1.1071487$ และ $\arctan 0.5=0.4636476$ รวมกันได้ $1.5707963=\frac{\pi}{2}$ ✓ ที่ $x=-2$ ค่าทั้งสองกลับเครื่องหมายและผลบวกเป็น $-1.5707963=-\frac{\pi}{2}$ ✓