จริงหรือเท็จ tan(π) = 0 จงอธิบายคำตอบ

Step-by-step solution

1. 1

   แปลงหน่วยของมุม เนื่องจาก $\pi$ เรเดียน $=180^{\circ}$ โจทย์จึงถามหาแทนเจนต์ของการหมุนครึ่งรอบ ซึ่งคือจุด $(-1,0)$ บนวงกลมหนึ่งหน่วย อยู่บนแกน $x$ ด้านลบ

2. 2

   ใช้เอกลักษณ์ผลหาร ตามนิยาม

   $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},$

   ค่าของ $\tan\pi$ จึงถูกกำหนดโดยพิกัดของจุดนั้นทั้งหมด โดย $\sin\pi$ คือพิกัด $y$ และ $\cos\pi$ คือพิกัด $x$

3. 3

   อ่านค่าพิกัดทั้งสองออกมา ที่ $\theta=\pi$

   $\sin(\pi)=0,\qquad \cos(\pi)=-1.$

   ไซน์เป็นศูนย์เพราะจุดนี้อยู่บนแกนนอนพอดี ส่วนโคไซน์เป็น $-1$ เพราะจุดนี้อยู่ทางซ้ายของจุดกำเนิดหนึ่งหน่วย

4. 4

   หารกัน พร้อมตรวจว่าตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ แทนค่าลงไป

   $\tan(\pi)=\frac{0}{-1}=0.$

   ข้อความนี้จึงจริง ตัวส่วนที่เป็นลบไม่ได้ทำให้คำตอบเป็นลบ เพราะศูนย์หารด้วยจำนวนใดที่ไม่เป็นศูนย์ก็ได้ศูนย์ โดยไม่มีเครื่องหมายติดมาด้วย

5. 5

   เทียบกับกรณีที่แทนเจนต์ใช้ไม่ได้ แทนเจนต์ไม่นิยามตรงจุดที่ $\cos\theta=0$ พอดี นั่นคือที่ $\theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi$ ซึ่งผลหารจะเป็นจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์หารด้วยศูนย์ ส่วนจุดที่เป็นศูนย์ของมันคือจุดที่ $\sin\theta=0$ นั่นคือ $\theta=k\pi$ ดังนั้น $\tan0=\tan\pi=\tan2\pi=0$ และ $\tan$ มีคาบเป็น $\pi$ ไม่ใช่ $2\pi$