Trigonometry · real student question

สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุม alpha = 36 องศา มุม gamma = 50 องศา และด้าน b = 78.2 อยู่ระหว่างสองมุมนั้น จงหาพื้นที่โดยประมาณเป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง

Question

ในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง α=36∘\alpha=36^\circ, γ=50∘\gamma=50^\circ และด้าน b=78.2b=78.2 อยู่ระหว่างสองมุมนั้น

จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยประมาณ เป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง

Step-by-step solution

  1. หามุมที่สามก่อน เพราะไม่มีอะไรเริ่มได้ถ้าไม่มีมัน มุมของสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180∘180^\circ

    β=180∘−α−γ=180∘−36∘−50∘=94∘\beta=180^\circ-\alpha-\gamma=180^\circ-36^\circ-50^\circ=94^\circ

    เนื่องจาก β\beta เป็นมุมป้าน ด้าน bb (ซึ่งอยู่ตรงข้าม β\beta) จึงเป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม เป็นการตรวจความสมเหตุสมผลที่มีประโยชน์สำหรับตัวเลขที่จะตามมา

  2. ระบุรูปแบบของโจทย์: ด้านที่รู้ค่าอยู่ ระหว่าง มุมที่รู้ค่า (ม.ด.ม.) การกำหนดชื่อมาตรฐานวางด้าน bb ไว้ตรงข้ามมุม β\beta เมื่อรู้ α\alpha และ γ\gamma ด้าน bb จึงเป็นด้านระหว่างมุม ตอนนี้รู้มุมครบทุกมุมและความยาวหนึ่งค่า สามเหลี่ยมจึงถูกกำหนดตายตัว และไม่ต้องกังวลเรื่องกรณีกำกวม (ซึ่งเกิดเฉพาะในโจทย์แบบ ด.ด.ม.)

  3. หาสูตรพื้นที่จากกฎของไซน์ พื้นที่คือ K=12acsin⁡βK=\tfrac12ac\sin\beta และกฎของไซน์ให้ด้านที่ยังไม่รู้ค่าทั้งสองในรูปของ bb

    a=bsin⁡αsin⁡β,c=bsin⁡γsin⁡βa=\frac{b\sin\alpha}{\sin\beta},\qquad c=\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta}

    แทนค่าลงไป

    K=12⋅bsin⁡αsin⁡β⋅bsin⁡γsin⁡β⋅sin⁡β=b2sin⁡αsin⁡γ2sin⁡βK=\frac12\cdot\frac{b\sin\alpha}{\sin\beta}\cdot\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta}\cdot\sin\beta=\frac{b^2\sin\alpha\sin\gamma}{2\sin\beta}

    การใช้สูตรเดียวนี้เลี่ยงการปัดเศษความยาวด้านระหว่างทาง ซึ่งเป็นจุดที่วิธีแก้แบบสองขั้นตอนมักคลาดไปหนึ่งในสิบ

  4. แทนค่าลงไป เมื่อ b2=78.22=6115.24b^2=78.2^2=6115.24 และ (ทศนิยมเจ็ดตำแหน่ง)

    sin⁡36∘=0.5877853,sin⁡50∘=0.7660444,sin⁡94∘=0.9975641\sin36^\circ=0.5877853,\quad \sin50^\circ=0.7660444,\quad \sin94^\circ=0.9975641

    ตัวเศษและตัวส่วนเป็น

    6115.24×0.5877853×0.7660444=2753.5068,2×0.9975641=1.99512816115.24\times0.5877853\times0.7660444=2753.5068,\qquad 2\times0.9975641=1.9951281

  5. หารแล้วปัดเศษ

    K=2753.50681.9951281=1380.1153…≈1380.1K=\frac{2753.5068}{1.9951281}=1380.1153\ldots\approx1380.1

    สังเกตเลขหลังจุดทศนิยม ค่าที่ยังไม่ปัดคือ 1380.1151380.115 จึงปัด ลง เป็น 1380.11380.1 ถ้าใช้ค่าไซน์เพียงสี่ทศนิยมจะได้ 1380.21380.2 และจะให้คำตอบที่ปัดแล้วผิด

  6. ตรวจซ้ำด้วยวิธีที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง แก้หาความยาวด้านได้ a=bsin⁡α/sin⁡β=46.0770a=b\sin\alpha/\sin\beta=46.0770 และ c=bsin⁡γ/sin⁡β=60.0510c=b\sin\gamma/\sin\beta=60.0510 จากนั้น K=12acsin⁡94∘=1380.1153K=\tfrac12ac\sin94^\circ=1380.1153 และสูตรของเฮรอนที่ s=a+b+c2=92.1640s=\tfrac{a+b+c}{2}=92.1640 ก็ให้ 1380.11531380.1153 เช่นกัน สามเส้นทางที่เป็นอิสระต่อกันตรงกันถึงสี่ทศนิยม จึงปิดคำตอบได้

Answer

K=b2sin⁡αsin⁡γ2sin⁡β≈1380.1K=\frac{b^2\sin\alpha\sin\gamma}{2\sin\beta}\approx1380.1

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions