Trigonometry · real student question

ในสามเหลี่ยม ABC มี (cos B + cos A cos C)/(sin B cos C) = a รากที่สองของ 3 ส่วน b โดย a = 3 และ c = 2 รากที่สองของ 3 จงหา sin A

Question

ใน △ABC\triangle ABC ด้าน a,b,ca,b,c อยู่ตรงข้ามมุม A,B,CA,B,C ตามลำดับ และสอดคล้องกับ

cos⁡B+cos⁡Acos⁡Csin⁡Bcos⁡C=a3b,a=3,c=23.\frac{\cos B+\cos A\cos C}{\sin B\cos C}=\frac{a\sqrt3}{b},\qquad a=3,\quad c=2\sqrt3.

จงหา sin⁡A\sin A

Step-by-step solution

  1. แทน cos⁡B\cos B ด้วยผลรวมมุมของสามเหลี่ยม ในสามเหลี่ยมใด ๆ A+B+C=πA+B+C=\pi ดังนั้น B=π−(A+C)B=\pi-(A+C) และ

    cos⁡B=cos⁡ ⁣(π−(A+C))=−cos⁡(A+C)=−(cos⁡Acos⁡C−sin⁡Asin⁡C).\cos B=\cos\!\left(\pi-(A+C)\right)=-\cos(A+C)=-\left(\cos A\cos C-\sin A\sin C\right).

    การแทนค่านี้เป็นก้าวแรกมาตรฐานเสมอ เมื่อเอกลักษณ์ในสามเหลี่ยมมีมุมครบทั้งสามมุมปนกันอยู่

  2. ยุบตัวเศษ เมื่อบวก cos⁡Acos⁡C\cos A\cos C เข้าไป พจน์ cos⁡Acos⁡C\cos A\cos C สองตัวจะตัดกัน

    cos⁡B+cos⁡Acos⁡C=−cos⁡Acos⁡C+sin⁡Asin⁡C+cos⁡Acos⁡C=sin⁡Asin⁡C.\cos B+\cos A\cos C=-\cos A\cos C+\sin A\sin C+\cos A\cos C=\sin A\sin C.

    ข้างซ้ายจึงกลายเป็น

    sin⁡Asin⁡Csin⁡Bcos⁡C=sin⁡Asin⁡B⋅tan⁡C.\frac{\sin A\sin C}{\sin B\cos C}=\frac{\sin A}{\sin B}\cdot\tan C.

  3. ใช้กฎของไซน์เพื่อจับคู่กับข้างขวา เนื่องจาก asin⁡A=bsin⁡B\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B} จึงได้ sin⁡Asin⁡B=ab\dfrac{\sin A}{\sin B}=\dfrac{a}{b} เงื่อนไขจึงอ่านได้ว่า

    abtan⁡C=a3b.\frac{a}{b}\tan C=\frac{a\sqrt3}{b}.

    ความยาวด้านเป็นบวก ตัวประกอบ ab\dfrac{a}{b} จึงตัดกันได้ และ

    tan⁡C=3 ⟹ C=π3=60∘,\tan C=\sqrt3\ \Longrightarrow\ C=\frac{\pi}{3}=60^{\circ},

    ซึ่งเป็นคำตอบเดียวที่ 0<C<π0<C<\pi และ cos⁡C≠0\cos C\ne 0 สังเกตว่าเอกลักษณ์ที่ให้มากำหนดค่า CC เพียงลำพัง โดยไม่ต้องใช้ข้อมูลความยาวด้านเลยในขั้นนี้

  4. ใช้กฎของไซน์กับคู่ที่รู้ค่าแล้ว (c,C)(c,C)

    asin⁡A=csin⁡C ⟹ sin⁡A=asin⁡Cc=3⋅3223=3343=34.\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}\ \Longrightarrow\ \sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{4\sqrt3}=\frac{3}{4}.

  5. ตรวจว่าสามเหลี่ยมนี้มีอยู่จริงและมีเพียงรูปเดียว เนื่องจาก a=3<c=23≈3.464a=3<c=2\sqrt3\approx 3.464 มุม AA จึงเล็กกว่า C=60∘C=60^{\circ} ดังนั้น A=arcsin⁡34≈48.59∘A=\arcsin\tfrac34\approx 48.59^{\circ} ส่วนทางเลือกมุมป้าน 131.41∘131.41^{\circ} เป็นไปไม่ได้ (จะไม่เหลือที่ว่างให้ CC) จากนั้น B≈71.41∘B\approx 71.41^{\circ} และ b=csin⁡Bsin⁡C≈3.7913=3+212b=\dfrac{c\sin B}{\sin C}\approx 3.7913=\dfrac{3+\sqrt{21}}{2} เมื่อแทนค่าเหล่านี้กลับเข้าไปในนิพจน์เดิม จะได้ 1.370551.37055 เท่ากันทั้งสองข้าง

Answer

sin⁡A=34\sin A=\frac{3}{4}

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions