จงจำแนกฟังก์ชัน y = sin x / x และฟังก์ชัน y = cos x / x ว่าเป็นฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่ หรือไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนเกณฑ์ทดสอบ ฟังก์ชันเป็นคู่เมื่อ $f(-x)=f(x)$ และเป็นคี่เมื่อ $f(-x)=-f(x)$ สำหรับ $x$ ทุกค่าในโดเมน ทั้งสองฟังก์ชันในข้อนี้มีโดเมน $x\neq 0$ ซึ่งสมมาตรรอบจุดกำเนิด เกณฑ์นี้จึงใช้ได้อย่างมีความหมาย

2. 2

   ทบทวนภาวะคู่คี่ของส่วนประกอบ

   $\sin(-x)=-\sin x\ (\text{คี่}),\qquad \cos(-x)=\cos x\ (\text{คู่}),\qquad (-x)=-x\ (\text{คี่}).$

3. 3

   ทดสอบฟังก์ชันแรก

   $f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}=f(x),$

   ดังนั้น $\dfrac{\sin x}{x}$ เป็นฟังก์ชันคู่ เครื่องหมายลบสองตัวตัดกัน คี่หารด้วยคี่ได้คู่

4. 4

   ทดสอบฟังก์ชันที่สอง

   $g(-x)=\frac{\cos(-x)}{-x}=\frac{\cos x}{-x}=-\frac{\cos x}{x}=-g(x),$

   ดังนั้น $\dfrac{\cos x}{x}$ เป็นฟังก์ชันคี่ ในที่นี้มีเพียงตัวส่วนที่พลิกเครื่องหมาย คู่หารด้วยคี่ได้คี่

5. 5

   ยืนยันเชิงตัวเลข ที่ $x=\pm 2$ ได้ $\dfrac{\sin 2}{2}=0.454649$ และ $\dfrac{\sin(-2)}{-2}=0.454649$ เท่ากันตามที่ฟังก์ชันคู่ต้องเป็น ขณะที่ $\dfrac{\cos 2}{2}=-0.208073$ แต่ $\dfrac{\cos(-2)}{-2}=+0.208073$ ตรงข้ามกันตามที่ฟังก์ชันคี่ต้องเป็น

6. 6

   จำกฎภาวะคู่คี่ทั่วไปไว้ สำหรับผลหาร คู่/คู่ = คู่, คี่/คี่ = คู่, คู่/คี่ = คี่, คี่/คู่ = คี่ กฎเหล่านี้ทำงานเหมือนการคูณเครื่องหมายพอดี จึงสร้างขึ้นใหม่เองได้ง่ายกว่าการท่องจำ