มุมใดที่มีโคไซน์เท่ากับ −0.8 จงหาคำตอบทั้งหมดระหว่าง 0° ถึง 360°

Step-by-step solution

1. 1

   ตัดสินก่อนว่าคำตอบอยู่ที่ใดได้บ้าง โคไซน์เท่ากับพิกัด x บนวงกลมหนึ่งหน่วย ค่าโคไซน์ที่เป็นลบจึงวางมุมไว้ทางซ้ายของแกนตั้ง คือจตุภาคที่ 2 หรือจตุภาคที่ 3 คาดได้ว่าจะมีคำตอบพอดีสองค่าในหนึ่งรอบเต็ม

2. 2

   หามุมอ้างอิงจากค่าสัมบูรณ์ มุมอ้างอิงใช้ค่า $+0.8$ เพราะมันวัดมุมแหลมไปยังส่วนที่ใกล้ที่สุดของแกนนอน

   $\alpha = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$

   (นี่คือมุมของสามเหลี่ยม $3$–$4$–$5$ ที่คุ้นเคย เพราะ $0.8 = 4/5$)

3. 3

   วางมุมอ้างอิงลงในจตุภาคที่ 2 ในจตุภาคที่ 2 มุมคือ $180^\circ$ ลบด้วยมุมอ้างอิง

   $\theta_1 = 180^\circ - 36.87^\circ = 143.13^\circ$

   นี่ก็เป็นค่าที่เครื่องคิดเลขคืนกลับมาโดยตรงสำหรับ $\cos^{-1}(-0.8)$ ด้วย เพราะพิสัยของอาร์กโคไซน์คือ $[0^\circ, 180^\circ]$

4. 4

   วางลงในจตุภาคที่ 3 ในจตุภาคที่ 3 มุมคือ $180^\circ$ บวกด้วยมุมอ้างอิง

   $\theta_2 = 180^\circ + 36.87^\circ = 216.87^\circ$

   หรือเทียบเท่ากับ $\theta_2 = 360^\circ - \theta_1$ เพราะโคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่

5. 5

   แปลงเป็นเรเดียนแล้วตรวจสอบ คูณด้วย $\pi/180$

   $\theta_1 \approx 2.498 \text{ เรเดียน}, \qquad \theta_2 \approx 3.785 \text{ เรเดียน}$

   หาค่ากลับ: $\cos(143.13^\circ) = -0.8000$ และ $\cos(216.87^\circ) = -0.8000$ ถูกต้องทั้งคู่ที่ทศนิยมสี่ตำแหน่ง การบวกจำนวนเท่าของ $360^\circ$ เข้าไปจะให้คำตอบเพิ่มเติมอีก