แก้สมการ 2 sin(2θ + π/4) − 1 = 0 หา θ ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 2π โดยไม่รวม 2π

Step-by-step solution

1. 1

   แยกไซน์ออกมาก่อน

   $\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.$

2. 2

   แทนค่าอาร์กิวเมนต์ทั้งก้อนแล้วแปลงช่วงตาม ให้ $t=2\theta+\tfrac{\pi}{4}$ เมื่อ $\theta$ ไล่ไปทั่ว $[0,2\pi)$ แล้ว $2\theta$ จะไล่ไปทั่ว $[0,4\pi)$ ดังนั้น

   $\frac{\pi}{4}\le t<4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}.$

   การแปลงช่วงคือขั้นที่คนมักข้าม อาร์กิวเมนต์ที่ถูกคูณสองกวาดไปถึงสองรอบเต็ม จึงควรคาดว่าจะมีคำตอบราวสองเท่าของปกติ

3. 3

   หาค่า t ทุกค่าในช่วงที่ถูกยืดออกซึ่งทำให้ sin t = 1/2 ในหนึ่งคาบคำตอบคือ $t=\tfrac{\pi}{6}$ และ $t=\tfrac{5\pi}{6}$ เมื่อบวกพหุคูณของ $2\pi$ แล้วเก็บเฉพาะค่าที่อยู่ใน $\left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{17\pi}{4}\right)$ จะได้

   $t=\frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6},\ \frac{25\pi}{6}.$

   สังเกตว่า $t=\tfrac{\pi}{6}$ ถูกตัดออกเพราะ $\tfrac{\pi}{6}<\tfrac{\pi}{4}$ การเลื่อนอาร์กิวเมนต์ทำให้คำตอบตัวหน้าสุดหลุดออกไปจริง ๆ

4. 4

   ย้อนการแทนค่ากลับ จาก $t=2\theta+\tfrac{\pi}{4}$ ได้ $\theta=\dfrac{t-\pi/4}{2}$ เมื่อทำตัวส่วนร่วมเป็น $12$ ข้างใน จะได้

   $\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12},\quad \frac{13\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{23\pi}{12},\quad \frac{17\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{31\pi}{12},\quad \frac{25\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{47\pi}{12}.$

5. 5

   หารสองแต่ละค่าเพื่อให้ได้ θ

   $\theta=\frac{7\pi}{24},\ \frac{23\pi}{24},\ \frac{31\pi}{24},\ \frac{47\pi}{24}.$

   ทั้งสี่ค่าอยู่ใน $[0,2\pi)$ เพราะ $\tfrac{47\pi}{24}<\tfrac{48\pi}{24}=2\pi$ ✓

6. 6

   ตรวจคำตอบหนึ่งค่า ที่ $\theta=\tfrac{7\pi}{24}$: $2\theta+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{12}+\tfrac{3\pi}{12}=\tfrac{10\pi}{12}=\tfrac{5\pi}{6}$ และ $2\sin\tfrac{5\pi}{6}-1=2(\tfrac12)-1=0$ ✓ คำตอบที่ติดกันห่างกันสลับไปมาเป็น $\tfrac{16\pi}{24}$ กับ $\tfrac{8\pi}{24}$ ซึ่งเป็นรูปแบบที่ควรคาดได้จากการมีสองคำตอบต่อคาบ แล้วเกิดซ้ำสองรอบ