จงหาจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ sin x = −√2/2

Step-by-step solution

1. 1

   หามุมอ้างอิงจากขนาดของค่า ละเครื่องหมายไว้ก่อน: $\sin\theta = \tfrac{\sqrt2}{2}$ ที่ $\theta = \tfrac{\pi}{4}$ (มุม $45^{\circ}$ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว) มุมอ้างอิงจึงเป็น $\tfrac{\pi}{4}$

2. 2

   ใช้เครื่องหมายเลือกจตุภาค ไซน์คือพิกัด $y$ บนวงกลมหนึ่งหน่วย ดังนั้น $\sin x < 0$ ทำให้ $x$ อยู่ใน จตุภาคที่ 3 หรือที่ 4 มีมุมเช่นนี้พอดีสองมุมต่อหนึ่งรอบ และทั้งสองต้องปรากฏในคำตอบ

3. 3

   เขียนมุมฐานทั้งสอง ในจตุภาคที่ 3 มุมคือ $\pi + \tfrac{\pi}{4}$ ในจตุภาคที่ 4 คือ $2\pi - \tfrac{\pi}{4}$

   $x = \frac{5\pi}{4} \qquad \text{และ} \qquad x = \frac{7\pi}{4}$

4. 4

   ขยายด้วยคาบ ไซน์มีคาบ $2\pi$ จึงบวก $2\pi n$ เข้ากับมุมฐานแต่ละมุม

   $\left\{x \;\middle|\; x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \ \text{ หรือ } \ x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}\right\}$

5. 5

   ตรวจทั้งสองตระกูลคำตอบ $\sin\tfrac{5\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓ และ $\sin\tfrac{7\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓ ตัวเลือกลวงที่สร้างจาก $\tfrac{4\pi}{3}$ และ $\tfrac{5\pi}{3}$ ใช้ไม่ได้ เพราะมุมเหล่านั้นให้ $\sin x = -\tfrac{\sqrt3}{2} \approx -0.866$ ไม่ใช่ $-0.7071$ ส่วนชุดที่สร้างจาก $\tfrac{3\pi}{4}$ ก็ใช้ไม่ได้ เพราะมุมนั้นอยู่ในจตุภาคที่ 2 ซึ่งไซน์เป็นบวก