บันไดพาดพิงกำแพง ปลายบนแตะกำแพงที่ความสูง 24 ฟุตจากพื้น และฐานอยู่ห่างจากกำแพง 7 ฟุต จงหาความยาวของบันไดและมุมที่บันไดทำกับพื้น

Step-by-step solution

1. 1

   จำลองสถานการณ์เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก กำแพงอยู่ในแนวดิ่งและพื้นอยู่ในแนวราบ ทั้งสองจึงพบกันที่ $90^\circ$ บันไดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ความสูงบนกำแพง ($24$ ฟุต) คือด้านตรงข้ามมุมที่พื้น และระยะห่างจากกำแพง ($7$ ฟุต) คือด้านประชิดมุมนั้น การวาดรูปสักครั้งขจัดความสับสนว่าด้านไหนเป็นด้านไหนได้หมด

2. 2

   ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาความยาว เมื่อด้านประกอบมุมฉากคือ $7$ กับ $24$ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $c$

   $c^2=7^2+24^2=49+576=625$
   $c=\sqrt{625}=25\text{ ฟุต}$

   ความยาวออกมาเป็นจำนวนเต็มเพราะ $(7,24,25)$ เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ซึ่งเป็นสัญญาณที่พบบ่อยว่าโจทย์ในตำราถูกออกแบบมาอย่างตั้งใจ

3. 3

   เลือกอัตราส่วนตรีโกณมิติที่ใช้เฉพาะข้อมูลที่โจทย์ให้ ให้ $\theta$ เป็นมุมที่พื้น ด้านที่ โจทย์ให้มา สองด้านคือด้านตรงข้าม ($24$) และด้านประชิด ($7$) และอัตราส่วนที่สร้างจากสองด้านนี้พอดีคือแทนเจนต์

   $\tan\theta=\frac{\text{ด้านตรงข้าม}}{\text{ด้านประชิด}}=\frac{24}{7}$

   การใช้แทนเจนต์ทำให้ความผิดพลาดในขั้นที่ 2 ไม่ลามมาถึงค่ามุม

4. 4

   ถอดแทนเจนต์เพื่อหามุม

   $\theta=\arctan\!\left(\frac{24}{7}\right)=\arctan(3.4286)\approx 73.74^\circ$

   ต้องแน่ใจว่าเครื่องคิดเลขอยู่ในโหมดองศา ถ้าอยู่ในโหมดเรเดียน การกดปุ่มชุดเดียวกันจะให้ $1.287$

5. 5

   ตรวจค่ามุมด้วยอัตราส่วนอื่น ใช้ด้านตรงข้ามมุมฉากที่คำนวณได้

   $\sin\theta=\frac{24}{25}=0.96,\qquad \cos\theta=\frac{7}{25}=0.28$

   ทั้ง $\arcsin(0.96)$ และ $\arccos(0.28)$ ให้ $73.74^\circ$ และ $0.96^2+0.28^2=0.9216+0.0784=1$ ยืนยันว่าสามเหลี่ยมสอดคล้องกัน มุมที่ชันก็เป็นสิ่งที่คาดได้ในเชิงกายภาพ เพราะบันไดสูงขึ้น $24$ ฟุต ขณะที่ถอยออกมาเพียง $7$ ฟุต