เซกเตอร์วงกลมมีมุมที่จุดศูนย์กลาง π/6 เรเดียน และรัศมี 4 ม. จงหาความยาวส่วนโค้ง s และพื้นที่เซกเตอร์ A โดยปัดเป็นทศนิยมสามตำแหน่ง

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนสูตรของเซกเตอร์ทั้งสอง สำหรับมุมที่จุดศูนย์กลาง $\theta$ ในหน่วยเรเดียน

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   ทั้งสองเป็นเพียงเศษส่วน $\theta/(2\pi)$ ของเส้นรอบวงเต็ม $2\pi r$ และพื้นที่เต็ม $\pi r^2$

2. 2

   คำนวณความยาวส่วนโค้ง

   $s=r\theta=4\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{ม.}$

3. 3

   คำนวณพื้นที่เซกเตอร์ ยกกำลังสองรัศมีก่อน แล้วค่อยหารสอง

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(4)^2\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12(16)\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4\pi}{3}\approx 4.189\ \text{ม.}^2$

4. 4

   เขียนคำตอบที่ปัดแล้วทั้งสองค่า

   $\boxed{s\approx 2.094\ \text{ม.},\qquad A\approx 4.189\ \text{ม.}^2}$

5. 5

   ตรวจด้วยความสัมพันธ์ A = ½rs การกำจัด $\theta$ ให้ $A=\tfrac12 rs$ และ $\tfrac12(4)\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{4\pi}{3}$ ซึ่งเป็นพื้นที่ที่หาได้ข้างต้นพอดี

6. 6

   เทียบกับกรณี π/3 รัศมี 2 ฟุต ในกรณีนั้นส่วนโค้งก็เป็น $\tfrac{2\pi}{3}$ เช่นกัน เพราะการลด $\theta$ ลงครึ่งหนึ่งพร้อมเพิ่ม $r$ เป็นสองเท่าทำให้ $r\theta$ คงเดิม แต่พื้นที่ขึ้นกับ $r^2\theta$ การเพิ่ม $r$ เป็นสองเท่าพร้อมลด $\theta$ ลงครึ่งหนึ่งจึงทำให้พื้นที่ เพิ่มเป็นสองเท่า คือจาก $\tfrac{2\pi}{3}$ เป็น $\tfrac{4\pi}{3}$ ส่วนโค้งเท่ากันไม่ได้แปลว่าพื้นที่เซกเตอร์เท่ากัน