ในรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง ด้านยาว 13 อยู่ตรงข้ามมุม 32 องศา ด้านยาว 23 อยู่ตรงข้ามมุม A และด้าน x อยู่ตรงข้ามมุมที่สาม ถ้ากำหนดให้ A เป็นมุมแหลม จงหามุม A และความยาว x

Step-by-step solution

1. 1

   จับคู่ด้านแต่ละด้านกับมุมที่อยู่ตรงข้าม กฎของไซน์จับคู่ด้านกับมุมตรงข้ามของมัน

   $\frac{\sin A}{23}=\frac{\sin 32^\circ}{13}=\frac{\sin C}{x}.$

   การจับด้านไปคู่กับมุมผิดตัวคือความผิดพลาดหลักของโจทย์แบบนี้ ให้ตรวจคำว่า 'ตรงข้าม' เสมอ ไม่ใช่ 'ประชิด'

2. 2

   แก้คู่แรกเพื่อหา sin A

   $\sin A=\frac{23\sin 32^\circ}{13}=\frac{23(0.529919)}{13}=\frac{12.18814}{13}=0.937549.$

   การที่ค่าออกมาน้อยกว่า $1$ ก็เป็นข้อมูลในตัวมันเอง เพราะถ้าค่าเกิน $1$ จะไม่มีสามเหลี่ยมแบบนี้อยู่จริง

3. 3

   ใช้อินเวอร์สไซน์ — แล้วเผชิญกับความกำกวม เครื่องคิดเลขให้

   $A=\arcsin(0.937549)=69.64^\circ,$

   แต่ $\sin(180^\circ-69.64^\circ)=\sin(110.36^\circ)$ มีค่าเท่ากัน สามเหลี่ยมมุมป้านจึงเป็นไปได้ในเชิงเลขคณิตด้วย นี่คือกรณีกำกวมแบบ SSA โจทย์ระบุว่ามุมที่ดูเป็นมุมแหลมให้ถือว่าเป็นมุมแหลม จึงเลือก

   $A\approx 69.6^\circ.$

4. 4

   หามุมที่สาม

   $C=180^\circ-32^\circ-69.64^\circ=78.36^\circ.$

5. 5

   ใช้กฎของไซน์อีกครั้งเพื่อหา x

   $x=\frac{13\sin C}{\sin 32^\circ}=\frac{13(0.979421)}{0.529919}=\frac{12.73247}{0.529919}=24.03.$

6. 6

   ตรวจลำดับของด้านกับมุม มุมที่ใหญ่ที่สุดคือ $C=78.4^\circ$ และด้านที่ยาวที่สุดคือ $x=24.03$ ส่วนมุมที่เล็กที่สุดคือ $32^\circ$ และด้านที่สั้นที่สุดคือ $13$ ด้านกับมุมเรียงลำดับตรงกัน ซึ่งต้องเป็นเช่นนั้น (ขอบันทึกไว้ว่า ถ้าเลือกกิ่งมุมป้านที่ถูกตัดทิ้งไป จะได้ $A=110.4^\circ$ และ $x=14.98$)