จงแก้หา x จากสมการ √(x² + 125.4² + 100²) = x / cos(20 องศา)

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจโดเมนก่อนยกกำลังสอง ข้างซ้ายเป็นรากที่สอง จึงไม่เป็นลบ ส่วนข้างขวาคือ $x/\cos 20^\circ$ โดยที่ $\cos 20^\circ>0$ ดังนั้นคำตอบใดก็ตามต้องมี $x\ge 0$ และรากติดลบที่อาจโผล่มาภายหลังต้องถูกตัดทิ้งในฐานะคำตอบแปลกปลอม

2. 2

   ยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วรวมค่าคงตัว การยกกำลังสองทำได้ตรงนี้เพราะทั้งสองข้างไม่เป็นลบ

   $x^2+125.4^2+100^2=\frac{x^2}{\cos^2 20^\circ}\;\Longrightarrow\;125.4^2+100^2=x^2\left(\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1\right)$

   ค่าคงตัวคือ $K=125.4^2+10000=25725.16$

3. 3

   ใช้เอกลักษณ์พีทาโกรัสจัดรูปวงเล็บ เนื่องจาก $\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$

   $\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1=\tan^2 20^\circ$

   สมการจึงกลายเป็น $x^2\tan^2 20^\circ=25725.16$ การมองเห็นเอกลักษณ์นี้คือสิ่งที่เปลี่ยนสมการตรีโกณมิติที่ดูรกให้แก้จบได้ในบรรทัดเดียว

4. 4

   แก้หา $x$ โดยเก็บเฉพาะรากบวก

   $x=\frac{\sqrt{25725.16}}{\tan 20^\circ}=\frac{160.3907}{0.3639702}\approx 440.67$

   รากติดลบ $-x$ สอดคล้องกับสมการที่ยกกำลังสองแล้ว แต่ไม่สอดคล้องกับสมการเดิม เพราะจะทำให้ข้างขวาติดลบขณะที่ข้างซ้ายยังเป็นบวก

5. 5

   ตรวจด้วยการแทนค่ากลับ เมื่อ $x\approx 440.67$ ข้างซ้ายคือ $\sqrt{440.67^2+25725.16}$ และข้างขวาคือ $440.67/\cos 20^\circ$ ทั้งสองให้ค่าเท่ากันถึงเลขนัยสำคัญเจ็ดตัว ยืนยันว่ารากนี้ถูกต้อง

   $\sqrt{x^2+25725.16}=\frac{x}{\cos 20^\circ}\;\checkmark$